3.3. Закон сохранения импульса. Система центра масс

Механическую систему называют замкнутой или изолированной, если на нее не действуют внешние силы. Для замкнутой системы главный вектор внешних сил тождественно равен нулю (), поэтому

и (3.17)

Полученное соотношение выражает закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы в инерциальной системе отсчета не изменяется со временем.

Таким образом, импульс механической системы может изменяться под действием только внешних сил, внутренние силы не могут изменить импульс системы. При этом импульсы отдельных тел системы могут испытывать существенные изменения, однако приращение импульса одного тела равно убыли импульса оставшейся части системы. Иными словами, отдельные части системы могут лишь обмениваться импульсами.

С учетом выражения, связывающего импульс системы со скоростью ее центра масс (), из (3.17) следует, что при любых процессах, происходящих в замкнутой системе, скорость ее центра масс сохраняется (). Центр масс замкнутой системы либо покоится, либо движется с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета.

Закон сохранения импульса относится к фундаментальным (универсальным) законам природы. Он справедлив не только в классической механике, базирующейся на законах Ньютона, но и в квантовой механике, описывающей процессы, происходящие в микромире. Этот закон является следствием определенного физического свойства пространства - его однородности. Однородность пространства заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства и законы движения не изменяются. Иначе говоря, изменение выбора начала системы координат не должно отражаться на физических свойствах системы и законах ее движения.

В заключении отметим, что в тех случаях, когда нас интересует лишь относительное движение частиц внутри системы, а не ее движение как целого, наиболее целесообразно пользоваться системой отсчета, в которой центр масс покоится. Систему отсчета, жестко связанную с центром масс и перемещающуюся поступательно по отношению к инерциальным системам, называют системой центра масс или С-системой. Отличительной особенностью С-системы является то, что полный импульс системы частиц в ней всегда равен нулю, ибо . Любая система частиц как целое покоится в своей С-системе.

3.4. Движения тела переменной массы. Формула Циолковского

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества. Типичным примером такой ситуации является реактивное движение, которое осуществляется за счет выброса из сопла ракеты раскаленных газов. Выбрасываемое вещество, в свою очередь, воздействует на ракету и увеличивает ее скорость в противоположном направлении.

Рассмотрим задачу о реактивном движении для наиболее простого случая, когда ракета движется в дальнем космосе, так что воздействием на нее Земли и других планет можно пренебречь. Ракета вместе с выброшенным веществом является замкнутой системой. Суммарный импульс такой системы не меняется во времени, и именно закон сохранения импульса лежит в основе решения этой задачи.

Рис.3.3

Пусть - масса ракеты в произвольный момент времени , - ее скорость относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а - импульс в тот же момент времени (рис.3.3). По истечении времени суммарный импульс ракеты и газов, образовавшихся за это время, в соответствии с законом сохранения импульса не изменится, то есть

, (3.18)

где - масса образовавшегося газа, - скорость истечения газов из ракеты, - скорость газа относительно выбранной системы отсчета.

Выполнив преобразования и отбросив член , как бесконечно малую высшего порядка, получим

. (3.19)

Для нахождения максимальной скорости ракеты проинтегрируем (3.19), допуская, что начальная скорость ракеты равна нулю, ее стартовая масса равна , а конечная масса - . В результате интегрирования получим

. (3.20)

Полученное соотношение (3.20) называется формулой Циолковского. Эта формула позволяет рассчитать запас топлива, необходимый для реализации космических полетов на ракетах. Так, при скорости истечения газов 2км/с, для достижения первой космической скорости () необходимо, чтобы отношение начальной массы ракеты к ее конечной было равно 55. Это означает, что почти 98% массы ракеты приходится на топливо. Путь преодоления этой трудности был указан Циолковским. Он впервые обосновал необходимость использования многоступенчатых ракет для достижения космических скоростей.

Не представляет особых трудностей обобщение представленного рассмотрения на случай действия внешних сил. В соответствии с законом изменения импульса

. (3.21)

Приведем данное выражение к виду

. (3.22)

Векторная величина

(3.23)

имеет размерность силы и называется реактивной силой. Она характеризует механическое действие на тело отделяющихся от него или присоединяющихся к нему частиц.

Уравнение (3.22) называется уравнением Мещерского и позволяет решать любые задачи механики, связанные с движением тел переменной массы.