- •Введение
- •Кинематика материальной точки
- •1.1. Описание положения материальной точки в пространстве
- •1.2. Скорость
- •1.3. Ускорение
- •1.4. Путь при криволинейном движении
- •1.5. Частные случаи кинематики материальной точки
- •1.6. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Тангенциальное и нормальное составляющие ускорения.
- •5. Кинематические уравнения равноускоренного движения:
- •Контрольные вопросы
- •2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.1. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела
- •2 Рис.2.3 .2. Кинематика вращательного движения
- •2.3. Плоское движение твердого тела
- •2.4. Примеры решения задач на кинематику вращательного движения
- •Основные положения
- •4. Кинематические уравнения равноускоренного вращательного движения:
- •5. Связь линейных и угловых величин:
- •6. Аналогия между кинематикой поступательного и вращательного движения
- •Контрольные вопросы
- •3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3.1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона
- •3.2. Центр масс механической системы и закон его движения
- •3.3. Закон сохранения импульса. Система центра масс
- •3.4. Движения тела переменной массы. Формула Циолковского
- •3.5. Применение законов динамики
- •Основные положения
- •2. Динамические характеристики тела при поступательном движении:
- •3. Основной закон динамики:
- •4. Радиус-вектор и скорость центра масс
- •7. Уравнение движения тела переменной массы:
- •Контрольные вопросы
- •4. Механическая работа и энергия
- •4.1. Работа переменной силы. Мощность
- •4.2. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
- •4.3. Консервативные силы. Потенциальная энергия
- •4.5. Связь силы и потенциальной энергии
- •4.6. Закон сохранения механической энергии
- •4.7. Упругие и неупругие соударения
- •4.8. Потенциальные кривые. Условия равновесия механической системы
- •4.9. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •6. Консервативные и диссипативные силы.
- •Контрольные вопросы
- •5. Динамика вращательного движения твердого тела
- •5.1. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •5.2. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса
- •5.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси
- •5.4. Основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •5.5. Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера
- •5.6. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении
- •5.7. Гироскоп
- •5.8. Примеры применения законов динамики при вращательном движении
- •Основные положения
- •4. Моменты инерции простейших тел относительно оси проходящей через центр масс
- •Контрольные вопросы
- •6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •6.1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета
- •6.2. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
- •6.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Контрольные вопросы
- •7. Механика упругих тел
- •7.1. Одноосное растяжение и сжатие
- •7.2. Сдвиг
- •7.3. Кручение
- •7.4. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:
- •Контрольные вопросы
- •8. Механика жидкостей и газов
- •8.1. Идеальная жидкость. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли
- •8.2 . Вязкость. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
- •8.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Сила внутреннего трения:
- •Контрольные вопросы
- •9. Основы релятивистской механики
- •9.1. Преобразования координат и принцип относительности Галилея
- •9.2. Постулаты специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4. Парадоксы теории относительности
- •9.5. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •9.6. Понятие об общей теории относительности
- •9.7. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Постулаты Эйнштейна
- •5. Формулы релятивистской динамики
- •6. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7. Инварианты релятивистской механики
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Приложение 1.
- •Скалярное и векторное произведение векторов
- •Производная и дифференциал
- •Производные элементарных функций
- •Элементы интегрального исчисления
- •Приложение 2.
- •Оценка систематической (приборной) погрешности
- •Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений
- •Погрешность косвенных измерений
- •Пример оформления лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Оценка погрешностей измерения
- •2.Вычисление систематической (приборной) погрешности
- •4. Вычисление суммарной погрешности
- •5. Относительная погрешность, или точность измерений
- •6. Запись окончательного результата
- •Графическое представление результатов измерений
- •Общие рекомендации по построению графиков
- •Библиографический список
- •Оглавление
4.3. Консервативные силы. Потенциальная энергия
Рис.4.4
(4.15)
К таким силам относятся силы тяжести, силы упругости, силы тяготения, силы электростатического взаимодействия (см. приведенные ниже примеры решения задач).
Все силы, не удовлетворяющие условию (4.15), называются неконсервативными или диссипативными. Характерным примером таких сил являются силы трения скольжения, силы сопротивления движению в жидкой или газообразной среде. Работа диссипативных сил отрицательна, поскольку эти силы всегда направлены в сторону противоположную направлению движения.
Если на систему действуют одни только консервативные силы (система находится в поле консервативных сил), то можно для нее ввести понятие потенциальной энергии. Какое-либо произвольное положение системы, характеризующее заданием координат ее точек, условно примем за нулевое (рис.4.5а). Тогда потенциальной энергией системы в рассматриваемом положении 1 определяется работой, совершаемой консервативными силами при переходе системы из данного положения в нулевое:
Рис.4.5
Работа при перемещении между точками 0 и 1 не зависит от выбора пути, но это как раз и означает, что потенциальная энергия определена однозначным образом как функция координат.
Однако, значение потенциальной энергии зависит от того, какое положение условно принято за нулевое. Если за нулевое положение принять положение (рис.4.5а), то потенциальная энергия будет равна
. (4.17)
Вследствие консервативности сил, действующих в системе, работа вдоль пути , равна работе вдоль пути :
или .
Работа полностью зависит от выбора нулевых положений и при замене одного нулевого положения другим потенциальная энергия системы меняется на постоянную величину. Таким образом, потенциальная энергия системы определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной.
Представим теперь, что система перешла из положения 1 в положение 2 по какому-либо пути (рис.4.5б). Работу , совершенную консервативными силами, можно выразить через потенциальные энергии в состояниях 1 и 2. Будем считать, что переход осуществляется через нулевое положение 0, т.е. по пути 102. Так как силы консервативны, то
. (4.18)
По определению потенциальной энергии
, ,
где С – одна и та же аддитивная постоянная.
Таким образом, работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии
. (4.19)
Формула (4.19) дает возможность найти выражение потенциальной энергии для любого поля консервативных сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля между двумя точками и представить ее в виде убыли потенциальной энергии. Примеры вычислений потенциальной энергии будут представлены ниже (см.4.9.), а здесь лишь приведем формулы для некоторых простейших случаев.
Потенциальная энергия тела в однородном поле тяжести
. (4.20)
Потенциальная энергия деформированной пружины
, (4.21)
где - абсолютная упругая деформация пружины.
Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия
. (4.22)
Формула получена при условии, что потенциальная энергия в бесконечности равна нулю. Во всяком другом положении она меньше, т.е. отрицательна.