5.2. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса

Моменты импульса и силы связаны между собой важным соотношением, которое называется уравнением моментов. Вначале получим это соотношение для одной материальной точки. С этой целью продифференцируем момент импульса (5.5) по времени

. (5.9)

Учитывая, что

и ,

с учетом (5.1), получим

. (5.10)

Это и есть уравнение моментов для одной материальной точки.

Распространим теперь уравнение (5.10) на систему материальных точек. Для этого сложим все уравнения (5.10) для каждой точки, понимая под М момент всех действующих на нее сил, как внешних, так и внутренних

. (5.11)

Суммарный момент всех внутренних сил равен нулю. Действительно, внутренние силы входят в систему попарно. Эти силы направлены противоположно и действуют вдоль одной и той же прямой, поэтому момент таких двух сил, а значит и момент всех внутренних сил равны нулю. В результате получаем уравнение моментов для системы материальных точек:

, (5.12)

где - суммарный момент всех внешних сил, - момент импульса системы.

Таким образом, скорость изменения момента импульса системы относительно неподвижной точки (полюса) равна результирующему моменту относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.

Соотношение (5.12) справедливо, в частности, для твердого тела, закрепленного в одной точке. В этом случае оно выражает основной закон динамики для тела, вращающегося вокруг неподвижной точки. Из него следует, что момент импульса является основной динамической характеристикой тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

Из уравнения моментов (5.12) непосредственно вытекает закон сохранения момента импульса механической системы. Если момент внешних сил равен нулю (), то момент импульса системы остается постоянным (). Таким образом, момент импульса замкнутой системы относительно произвольного центра остается постоянным во времени. Такова формулировка закона сохранения момента импульса механической системы.

Этот закон, наряду с законами сохранения импульса и энергии, является одним из фундаментальных законов природы. В теоретической механике, изучающей самые общие законы движения, закон сохранения момента импульса связывается с изотропностью пространства, т.е. с инвариантностью относительно вращений пространства.

5.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси

Следует различать и никоим образом не смешивать понятия момента импульса и момента силы относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки сам есть вектор, тогда как момент вектора относительно оси уже не является вектором.

М

Рис.5.4

оментом импульса и моментом силы относительно произвольной оси Z называют проекции векторов и на эту ось в предположении, что точка О (полюс) лежит на рассматриваемой оси (рис.5.4).

Покажем на примере момента силы, что выбор точки на оси влияет на значение , но не влияет на значение . Будем полагать, что точка О, относительно которой определен момент силы , расположена в произвольной точке на оси вращения (рис.5.5). Разложим вектор силы на три взаимно перпендикулярные составляющие, две из которых, _|| и , параллельная и перпендикулярная оси вращения, лежат в плоскости, проходящей через ось вращения и точку приложения силы, а третья - перпендикулярна к этой плоскости (обозначена на рисунке крестиком). Момент силы относительно точки О равен сумме моментов составляющих:

.

В

Рис.5.5

екторное произведение направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат образующие его векторы. Векторы _|| и перпендикулярны оси, и следовательно, их проекции на эту ось равны нулю. Поэтому

. (5.13)

Здесь , а . Окончательно, для момента силы относительно оси вращения получаем:

, (5.14)

где - радиус окружности с центром на оси OZ, а - касательная составляющая силы к этой окружности.

Таким образом, момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. В соответствии с правилом винта величина положительна, когда сила приводит к вращению тела вокруг направления оси против часовой стрелки, и отрицательна – при вращении в противоположном направлении.

Проектируя векторное уравнение (5.12) на ось ОZ, получим

. (5.15)

Это уравнение называется уравнением моментов относительно неподвижной оси. Когда момент внешних сил относительно какой-либо оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси остается постоянным. Это закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси.

Этот закон в сочетании с законом сохранения механической энергии эффективно используется при решении задач на вращательное движение твердого тела (см.5.8).