7.4. Примеры решения задач

1. Нижнее основание стального цилиндра диаметром d=20 см и высотой h=20 см закреплено неподвижно. На верхнее основание действует горизонтальная сила F=20 кН. Найти: 1) тангенциальное напряжение в материале цилиндра, 2) смещение верхнего основания цилиндра, 3) потенциальную энергию и объемную плотность деформированного образца.

Решение

1) Тангенциальное напряжение материала деформированного образца выражается формулой

.

В данном случае , поэтому получим

.

Сделав вычисления, найдем

2) Смещение верхнего основания цилиндра будет равно

,

где - угол сдвига.

В соответствии с законом Гука

,

где = 8,1.10¹⁰ Па - модуль сдвига стали.

Произведя подстановку, получим

.

Выполнив вычисления, найдем

1,6 мкм.

3. Потенциальная энергия и объемная плотность энергии деформированного образца определятся по формулам

и .

Сделав вычисления, получим, U=159 мДж, w= 2,5 Дж/м³.

2. Определить относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа А=6,9 Дж. Длина стержня l=1 м, площадь поперечного сечения S=1 мм², модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа.

Решение

Работа, затраченная при растяжении стержня, переходит в его упругую потенциальную энергию

,

где - нормальное напряжение деформированного образца, V =Sl – его объем.

В соответствии с законом Гука

.

После подстановки и преобразований, найдем

.

Вычисления дают

Основные положения

1. Упругое напряжение – физическая величина, равная упругой силе, приходящейся на единицу площади:

• нормальное напряжение, сила направлена по нормали к площадке

;

• тангенциальное напряжение, сила направлена по касательной к площадке

.

2. Закон Гука – напряжение упруго деформированного тела прямо пропорционально его относительной деформации:

- деформация растяжения (сжатия)

;

- деформация сдвига

.

3. Коэффициент Пуассона – отношение поперечного сужения к продольному удлинению:

4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:

- деформация растяжения (сжатия)

;

- деформация сдвига

.

Контрольные вопросы

1. Что такое упругие напряжения? Как определяются нормальные и тангенциальные напряжения?

2. Как формулируется закон Гука для различных видов деформации?

3. Каков физический смысл модуля Юнга и модуля сдвига?

4. Как определяется коэффициент Пуассона?

5. От чего зависит объемная плотность энергии упруго деформированного тела?

8. Механика жидкостей и газов

8.1. Идеальная жидкость. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли

В гидроаэромеханике используется единый подход к изучению жидкостей и газов. Жидкости и газы рассматривают как сплошные среды, не вдаваясь в их молекулярное строение. Жидкость считается несжимаемой, поскольку ее плотность мало зависит от давления. Однако, как показывают расчеты, при движении газов со скоростями, намного меньшими скорости звука в этой среде, их также можно с достаточной точностью считать несжимаемыми. Движение жидкости (газа) называется течением, а совокупность движущихся частиц жидкости – потоком.

Графически движение жидкости изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис.8.1,а). Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока (рис.8.2,б).

Т

Рис.8.1

ечение жидкости называется стационарным (установившимся), если значение скоростей в каждой ее точке со временем не меняется. В случае стационарного течения линии тока не изменяются с течением времени и совпадают с траекториями движения отдельных частиц жидкости.

Рассмотрим элементарный участок трубки тока жидкости, ограниченный двумя произвольно выбранными нормальными сечениями и . Скорости жидкости в этих сечениях обозначим через и . При стационарном течении несжимаемой жидкости ее масса, заключенная в данном участке, будет оставаться неизменной. Следовательно, масса жидкости, поступающей в рассматриваемый участок за единицу времени сквозь сечение 1, равна массе жидкости, вытекающей из этого участка за то же время сквозь сечение 2, т.е.

(8.1)

Поскольку плотность несжимаемой жидкости одинакова, то

(8.2)

Таким образом, при стационарном течении жидкости произведение скорости течения на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная. Это соотношение называется уравнением неразрывности.

Жидкость, у которой полностью отсутствуют силы внутреннего трения, называется идеальной. Течение идеальной жидкости не сопровождается диссипацией энергии. Поэтому к установившемуся течению такой жидкости можно применить закон сохранения механической энергии.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости элементарную трубку тока, ограниченную нормальными сечениями (рис.8.2). За время dt через сечение S₁ протек объем , а из сечения S₂ вытек объем . В силу неразрывности струи, заштрихованные объемы равны

.

П

Рис.8.2

риращение энергии за время dt рассматриваемого объема жидкости между сечениями S₁ и S₂ можно вычислить как разность энергий заштрихованных элементарных объемов, включающих как потенциальную, так и кинетическую энергии

,

где h₁ и h₂ – высоты центров тяжести заштрихованных объемов над условным уровнем.

Это приращение энергии должно равняться разности работ, совершаемых силами давления, приложенными к сечениям S₁ и S₂:

,

где и - давления в сечениях 1 и 2.

Используя закон сохранения энергии, можем записать

.

Разделив это уравнение почленно на величину

,

получим

,

или, что то же,

.

Это уравнение называется уравнением Бернулли.

Величина в данной формуле называется статическим давлением, величина - динамическим давлением (напором), а величина - гидростатическим давлением. Для горизонтальной трубки выражение уравнение Бернулли принимает вид

(8.3)

где - полное давление.

Из формул (8.2) и (8.3) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в широких местах, т.е. там, где скорость меньше.

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда (см. примеры решения задач).