9.4. Парадоксы теории относительности

С необычными свойствами пространства и времени связан ряд парадоксов. Начнем с парадокса, связанного с сокращением линейных размеров движущегося тела в направлении движения.

Рис.9.4

Предположим, что сквозь неподвижную в -системе отсчета трубку длины пролетает стержень , собственная длина которого равна . Скорость стержня такова, что его длина в -системе равна длине трубки, (рис.9.4а). Следовательно, пролетая сквозь трубку, стержень должен в ней уместиться. Однако, «с точки зрения стержня» сокращение вдвое претерпевает трубка, поэтому стержень не поместится в трубке (рис.9.4б). Как разрешить данное противоречие?

Противоречия нет, и вот почему. «С точки зрения трубки» концы пролетающего стержня совместятся с концами трубки одновременно. «С точки зрения стержня» эти события произойдут уже не одновременно. С начала совпадут концы и , а затем, через некоторый промежуток времени, концы и (рис. 9.4б).

Второй парадокс – это знаменитый парадокс близнецов, связанный с замедлением хода времени в движущихся системах отсчета. Суть парадокса заключается в том, что, отправив одного из близнецов в космическое путешествие с большой скоростью, можно по возвращении корабля на Землю сравнить его возраст с возрастом второго из близнецов, оставшегося на Земле.

Какой из них окажется старше, если механическое движение относительно, и любого из них можно считать неподвижным по своему желанию?

Прежде всего, здесь следует отметить, что результаты специальной теории относительности относятся к инерциальным системам отсчета. В данном случае ситуация принципиально иная. Приближенно инерциальной будет только система отсчета, связанная с Землей. Поэтому медленнее будут идти часы на космическом корабле, причем тогда, когда он, разогнавшись, движется равномерно. Система отсчета, связанная с космическим кораблем, неинерциальная, так как корабль приходится разгонять и тормозить, то есть двигаться с ускорением. Поэтому с точки зрения системы отсчета, связанной с кораблем, нельзя судить о ходе часов на Земле в соответствии с формулами специальной теории относительности. Аккуратный анализ ситуации может быть выполнен в рамках общей теории относительности, и результат состоит в том, что при встрече моложе окажется близнец, совершивший космическое путешествие.

9.5. Импульс и энергия в релятивистской механике

Закон сохранения импульса – один из основных законов природы, отражающий однородность пространства. Однако, чтобы он был инвариантен к преобразованиям Лоренца, выражение для импульса тела требует корректировки.

Соответствующее выражение импульса в релятивистской механике было получено Эйнштейном

. (9.16)

Опыт показывает, что определенный таким образом импульс обладает основными свойствами, присущими импульсу в классической механике. Он сохраняется в замкнутых системах тел, а скорость его изменения равна силе, действующей на тело. Следовательно, релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид

. (9. 17)

Получим теперь выражение для кинетической энергии в релятивистской механике. Элементарное приращение кинетической энергии равно работе силы, действующей на тело за время , т.е.

,

где определяется по формуле (9.15).

Проведя соответствующие преобразования, после интегрирования получим

. (9.18)

Нетрудно показать, что при формула (9.18) преобразуется в классическую формулу для кинетической энергии.

Закон сохранения энергии в релятивистской механике оказывается инвариантным только в том случае, если свободной частице, кроме кинетической энергии приписать дополнительную энергию, равную

. (9.19)

Эта энергия представляет собой внутреннею энергию тела и называется энергией покоя. Под полной энергией в релятивистской механике подразумевается сумма кинетической энергии и энергии покоя тела. В соответствии с (9.18) полная энергия равна

. (9.20)

Решая систему двух уравнений (9.16) и (9.20), получим выражение для полной энергии через импульс тела

. (9.21)

Из этого равенства следует, что

. (9.22)

Следовательно, при переходе от одной системы отсчета к другой полная энергия и импульс изменяются, но неизменным остается выражение (9.22).

Остановимся теперь на двух важных следствиях, вытекающих из полученных соотношений.

Взаимосвязь массы и энергии. Согласно (9.19) всякое изменение массы тела сопровождается изменением энергии покоя, т.е.

. (9.23)

Это утверждение носит название закона взаимосвязи массы и энергии.

Взаимосвязь массы и энергии приводит к тому, что суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Рассмотрим следующий пример. Пусть две частицы массы , движущиеся навстречу друг другу с равными скоростями, претерпевают неупругое соударение. Из закона сохранения энергии следует, что

, (9.24)

откуда

,

где - масса, образовавшейся частицы.

Таким образом, масса образовавшейся частицы больше суммы масс исходных частиц. Увеличение массы обусловлено тем, что кинетическая энергия превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, приведшее к возрастанию массы. При распаде неподвижной частицы на несколько частиц, наблюдается обратное явление.

Частицы с нулевой массой. Ньютоновская механика не допускает существование частиц с нулевой массой. Законы релятивистской механики не противоречат существованию таких частиц.

Из формул (9.16) и (9.20) следует, что частица с массой покоя может иметь энергию и импульс только в том случае, если она движется со скоростью света. При этом обе формулы принимают вид 0/0, что не означает, тем не менее, неопределенности энергии и импульса такой частицы. Согласно (19) связь между ними выражается соотношением

. (9.25)

К числу таких частиц принадлежит фотон. Движение со скоростью света, это единственное состояние в котором эти частицы могут существовать. Остановка такой частицы равносильна ее исчезновению.