3.5. Применение законов динамики

Среди многообразия различных задач на динамику выделим следующие типы:

• На систему действуют постоянные силы. В этом случае по второму закону Ньютона определяется постоянное ускорение, а затем и другие кинематические характеристики. Задачи этого типа сравнительно просты.

• Результирующая сила, действующая на тело, не постоянна и зависит от скорости. При решении таких задач требуется интегрирование дифференциального уравнения движения. Задачи второго типа много сложнее первого.

• Масса тела непрерывно изменяется из-за потери или приобретения вещества. В этом случае необходимо использовать уравнение Мещерского.

Алгоритм решения задач на динамику

1. Сделать чертеж, показав на нем силы, действующие на все тела системы.

2. Написать уравнения движения в векторном виде для каждого из тел системы в отдельности.

3. Выбрать систему координат (для каждого тела системы можно выбирать свою систему) и от векторных уравнений перейти к скалярным, заменяя вектора их проекциями.

4. Решить с учетом конкретных условий задачи систему получившихся скалярных уравнений.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров.

1. На горизонтальной поверхности стола лежат два одинаковых бруска массой 1 кг каждый (рис.3.4). Бруски связаны нерастяжимой нитью, такая же нить связывает первый брусок с грузом массой m =0,5 кг. Коэффициент трения первого бруска о стол , второго бруска . Найти силу натяжения нити между брусками. Массой блока пренебречь.

Решение

П

Рис.3.4

окажем на рисунке силы действующие на каждое тело системы и направления их ускорений. Так как все тела связаны нерастяжимыми нитями, то модули ускорений будут равны.

Запишем II закон Ньютона в векторной форме для каждого из тел:

, ,

.

Выбрав оси координат, как показано на рис.3.4 и проектируя векторные выражения на координатные оси х и у, получим:

.

Учитывая, что, , находим

;.

Тогда можно переписать систему уравнений

Решая систему уравнений, и учитывая, что , получим:

2

Рис.3.5

. Катер массой m=2 т с двигателем мощностью N=50 кВт развивает максимальную скорость м/с. Определить время, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движению катера изменяется пропорционально скорости (рис.3.5).

Решение

При движении катера с включенным двигателем на него действуют сила тяги двигателя и сила сопротивления , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров, формы тела и свойств окружающей среды (рис.3.5а). Так как скорость постоянна, то эти силы по модулю равны. Таким образом, можно записать

=,

где, зная связь мощности двигателя и силы тяги, а также учитывая выражение для силы сопротивления, коэффициент сопротивления k можно выразить следующим образом

,

.

После выключения двигателя, катер начинает двигаться равнозамедленно под действием силы сопротивления (рис.3.5б). Уравнение движения тела в векторной форме будет иметь вид:

.

Спроектировав данное уравнение на направление движения, имеем

.

После разделения переменных получим

.

Проинтегрируем левую часть уравнения от до , а правую соответственно от нуля до t:

,

.

Окончательно, для t имеем

.

После подстановки числовых значений, получим t=17 c.

3. Турбореактивные двигатели самолета выбрасывают из сопел струю газа плотностью ρ = 1,5 кг/м³, с общей площадью поперечного сечения S=0,25 м² и скоростью u=300 м/с относительно самолета. Определить установившуюся скорость полета самолета , если сила сопротивления воздуха , где α=56 кг/с.

Решение

Уравнение Мещерского в данной ситуации принимает следующий вид

.

При установившейся скорости полета , а ,

поэтому уравнение Мещерского упрощается

или .

Убыль массы газа за время будет равно

.

С учетом этого, получим

и = 603 м/с.

4. На горизонтальных рельсах стоит платформа с песком массой m₁=5.10³ кг. В песок попадает снаряд массы m₂=5 кг, летевший вдоль рельсов. В момент попадания скорость снаряда =400 м/с и направлена под углом =30⁰ к горизонту. Найти скорость платформы, если снаряд застревает в песке (рис.3.6).

Решение

П

Рис.3.6

редставим на рисунке состояние платформы до и после попадания в нее снаряда. В данной ситуации система снаряд-платформа не является замкнутой. Как видно из рисунка импульс системы не сохраняется, по меньшей мере, он изменяет свое направление. Однако, считая, что в направлении оси OX не действует сила трения, можно воспользоваться законом сохранения импульса в проекции на данную ось

.

Отсюда .

Произведя подстановку числовых значений, получим

u=0,34 м/с.

5. Модель ракеты движется при отсутствии внешних сил, выбрасывая непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью u=800м/с. Расход газа =0,4 кг/с, начальная масса ракеты m₀=1,2 кг. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через время t=1 с после начала движения?

Решение

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Циолковского

.

Масса ракеты к моменту времени t=1c после начала движения будет равна

.

Подставив полученное значение массы в формулу Циолковского, получим

.

Расчет по этой формуле дает следующий результат

= 324,4 м/с.