- •Введение
- •Кинематика материальной точки
- •1.1. Описание положения материальной точки в пространстве
- •1.2. Скорость
- •1.3. Ускорение
- •1.4. Путь при криволинейном движении
- •1.5. Частные случаи кинематики материальной точки
- •1.6. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Тангенциальное и нормальное составляющие ускорения.
- •5. Кинематические уравнения равноускоренного движения:
- •Контрольные вопросы
- •2. Кинематика абсолютно твердого тела
- •2.1. Поступательное и вращательное движение абсолютно твердого тела
- •2 Рис.2.3 .2. Кинематика вращательного движения
- •2.3. Плоское движение твердого тела
- •2.4. Примеры решения задач на кинематику вращательного движения
- •Основные положения
- •4. Кинематические уравнения равноускоренного вращательного движения:
- •5. Связь линейных и угловых величин:
- •6. Аналогия между кинематикой поступательного и вращательного движения
- •Контрольные вопросы
- •3. Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела
- •3.1. Инерциальные системы отсчета. Законы Ньютона
- •3.2. Центр масс механической системы и закон его движения
- •3.3. Закон сохранения импульса. Система центра масс
- •3.4. Движения тела переменной массы. Формула Циолковского
- •3.5. Применение законов динамики
- •Основные положения
- •2. Динамические характеристики тела при поступательном движении:
- •3. Основной закон динамики:
- •4. Радиус-вектор и скорость центра масс
- •7. Уравнение движения тела переменной массы:
- •Контрольные вопросы
- •4. Механическая работа и энергия
- •4.1. Работа переменной силы. Мощность
- •4.2. Кинетическая энергия. Теорема о кинетической энергии
- •4.3. Консервативные силы. Потенциальная энергия
- •4.5. Связь силы и потенциальной энергии
- •4.6. Закон сохранения механической энергии
- •4.7. Упругие и неупругие соударения
- •4.8. Потенциальные кривые. Условия равновесия механической системы
- •4.9. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •6. Консервативные и диссипативные силы.
- •Контрольные вопросы
- •5. Динамика вращательного движения твердого тела
- •5.1. Момент силы и момент импульса относительно точки
- •5.2. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса
- •5.3. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной оси
- •5.4. Основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •5.5. Вычисление моментов инерции. Теорема Штейнера
- •5.6. Кинетическая энергия и работа при вращательном движении
- •5.7. Гироскоп
- •5.8. Примеры применения законов динамики при вращательном движении
- •Основные положения
- •4. Моменты инерции простейших тел относительно оси проходящей через центр масс
- •Контрольные вопросы
- •6. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции
- •6.1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета
- •6.2. Силы инерции во вращающейся системе отсчета
- •6.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Контрольные вопросы
- •7. Механика упругих тел
- •7.1. Одноосное растяжение и сжатие
- •7.2. Сдвиг
- •7.3. Кручение
- •7.4. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Объемная плотность энергии упруго деформированного тела:
- •Контрольные вопросы
- •8. Механика жидкостей и газов
- •8.1. Идеальная жидкость. Уравнение неразрывности. Уравнение Бернулли
- •8.2 . Вязкость. Ламинарный и турбулентный режимы течения жидкостей
- •8.3. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •4. Сила внутреннего трения:
- •Контрольные вопросы
- •9. Основы релятивистской механики
- •9.1. Преобразования координат и принцип относительности Галилея
- •9.2. Постулаты специальной теории относительности
- •9.3. Преобразования Лоренца. Следствия из преобразований Лоренца
- •9.4. Парадоксы теории относительности
- •9.5. Импульс и энергия в релятивистской механике
- •9.6. Понятие об общей теории относительности
- •9.7. Примеры решения задач
- •Основные положения
- •Постулаты Эйнштейна
- •5. Формулы релятивистской динамики
- •6. Закон взаимосвязи массы и энергии
- •7. Инварианты релятивистской механики
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Приложение 1.
- •Скалярное и векторное произведение векторов
- •Производная и дифференциал
- •Производные элементарных функций
- •Элементы интегрального исчисления
- •Приложение 2.
- •Оценка систематической (приборной) погрешности
- •Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность
- •Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений
- •Погрешность косвенных измерений
- •Пример оформления лабораторной работы
- •Порядок выполнения работы
- •Оценка погрешностей измерения
- •2.Вычисление систематической (приборной) погрешности
- •4. Вычисление суммарной погрешности
- •5. Относительная погрешность, или точность измерений
- •6. Запись окончательного результата
- •Графическое представление результатов измерений
- •Общие рекомендации по построению графиков
- •Библиографический список
- •Оглавление
7.2. Сдвиг
Рис.7.2
Сдвигом называют такую деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой плоскости, называемой плоскостью сдвига, смещаются параллельно друг другу (рис.7.2). Сдвиг происходит под действием касательной силы F, приложенной к грани ВС, параллельной плоскости сдвига. Грань АD, параллельная ВС, закреплена неподвижно. При малом сдвиге:
, (7.9)
где х = - абсолютный сдвиг, а - угол сдвига, называемый также относительным сдвигом.
В любом сечении образца, параллельном плоскости сдвига, возникают уже не нормальные, а касательные упругие напряжения, определяемые по формуле
. (7.10)
По закону Гука касательные напряжения пропорциональны относительному сдвигу, т.е.
, (7.11)
где G - модуль сдвига.
Модуль сдвига численно равен тому касательному напряжению, которое возникло бы в образце при относительном сдвиге, равном единице, если бы в этом случае выполнялся закон Гука.
Между модулем сдвига, модулем Юнга и коэффициентом Пуассона существует следующее соотношение
. (7.12)
Объемная плотность энергии упругой деформации при сдвиге, как и при растяжении (7.8), прямо пропорциональна квадрату напряжения и обратно пропорциональна модулю упругости:
. (7.13)
7.3. Кручение
Возьмем однородный стержень, закрепим его верхний конец, а к нижнему концу приложим закручивающие силы, создающие вращающий момент. В результате этого каждый радиус нижнего основания повернется вокруг продольной оси на некоторый угол. Такая деформация называется кручением.
Деформация кручения является неоднородной. Это значит, что деформация внутри образца меняется от точки к точке. Чем дальше от оси вращения, тем больше деформация.
Закон Гука для деформации кручения записывается в виде
, (7.14)
где ƒ – постоянная для данного образца величина, называемая модулем кручения, - угол кручения, - крутящий момент.
Модуль кручения показывает, какой момент сил нужно приложить, чтобы закрутить стержень на угол в 1 рад. В отличие от модулей Юнга и сдвига он зависит не только от материала, но и от геометрических размеров образца.
Деформацию кручения можно свести к деформации сдвига. Выведем выражение для модуля кручения.
Стержень (рис.7.3) можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек (трубок) радиусом r, длиной L и толщиной dr. Площадь основания трубки
dS = 2 r dr , (7.15)
а момент упругих сил, действующих на это основание:
Рис.7.3
где τ - тангенциальное напряжение в этом основании.
С учетом того, что каждый элемент цилиндрической трубки сдвигается на угол:
, (7.17)
то по закону Гука для деформации сдвига получим
. (7.18)
Таким образом, момент сил, действующих на цилиндрическую трубку, равен
. (7.19)
Полный момент сил, действующих на стержень радиуса R, найдется интегрированием:
. (7.20)
Сопоставляя (7.20) с законом Гука для деформации кручения (7.14), получим выражение для модуля кручения:
. (7.21)
Экспериментально модуль кручения можно измерить. С этой целью подвесим на проволоке массивное симметричное тело и возбудим крутильные колебания. Эти колебания будут гармоническими с периодом
, (7.22)
где I – момент инерции тела, f – модуль кручения проволоки. Если момент инерции тела известен, то, определив период колебаний, можно вычислить по формуле (9.22) модуль кручения проволоки.