4.7. Упругие и неупругие соударения

Соударения, столкновения частиц составляют один из важнейших предметов рассмотрения в физике микромира. Но и в курсе классической механике данная проблема занимает достойное место.

Рассматривая соударения макроскопических тел можно утверждать, что они взаимодействуют лишь в процессе удара, но не взаимодействуют до или после него. При ударе тел происходит их деформация, при этом некоторая часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию упругой деформации, а другая – во внутреннюю энергию тел. В зависимости от того, насколько меняется внутренняя энергия тел, используют одно из двух приближений: абсолютно упругий и абсолютно неупругий удар.

Абсолютно упругим ударом называют такое соударение тел, при котором переходом части их энергии во внутреннюю энергию тел можно пренебречь. Сначала кинетическая энергия

частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации, затем тела восстанавливают свою форму

и

Рис.4.7

потенциальная энергия переходит обратно в кинетическую. Скорости разлета тел определяются двумя условиями – законом сохранения полной механической энергии и законом сохранения импульса сталкивающихся тел.

При абсолютно неупругом ударе тела «слипаются», т.е. после удара они движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. Кинетическая энергия тел полностью или частично превращается в их внутреннюю энергию, и выполняется лишь закон сохранения импульса.

а) Рассмотрим сначала абсолютно упругий удар, причем ограничимся центральным ударом двух шаров, один из которых первоначально покоится. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Обозначим массы шаров и. Пусть второй шар до удара неподвижен, а первый двигался в положительном направлении оси x со скоростью (рис.4.7). Скорости шаров после удара обозначим и . Эти величины являются проекциями на ось x векторов и , их знак, полученный в результате решения, определит в каком направлении шары будут двигаться после удара.

Запишем условия сохранения энергии и импульса:

, (4.30)

или . (4.31)

Решение данной системы уравнений дает искомые значения для и :

Рис.4.8

, . (4.32)

Отметим теперь некоторые особенности движения шаров, вытекающие из полученного решения (4.32).

Если массы шаров равны, то . Это означает, что первый шар после удара останавливается, а второй движется с той скоростью, которая была у первого шара до удара. Если происходит упругое столкновение со стенкой, т.е. с телом, массу которого можно считать бесконечно большой, из (4.32) получаем . Следовательно, при столкновении со стенкой шар меняет свою скорость на противоположную.

б) Рассмотрим теперь абсолютно неупругий удар двух шаров. Пусть шары движутся вдоль прямой, соединяющей их центры, со скоростями и (рис.4.8).

Общую скорость шаров после столкновения обозначим через . Закон сохранения импульса в проекции на ось x дает

,

где и - массы шаров. Отсюда получаем

. (4.33)

Кинетические энергии системы до и после удара соответственно равны

и . (4.34)

Пользуясь выражениями (4.33) и (4.34), нетрудно получить

, (4.35)

где - приведенная масса шаров, а - их относительная скорость.

Таким образом, при абсолютно неупругом столкновении шаров происходит потеря их кинетической энергии, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости. Потеря механической энергии по абсолютной величине равна работе диссипативных сил, действующих во время столкновения. При этом в соответствии с общефизическим законом сохранения энергии возрастает внутренняя энергия шаров.