Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов и скользящим средним

Учетный год	Число хозяйств с высокой урожайностью	Суммы за три года	Скользящие за три года	Скользящие средние
1982	84			90,0
1983	94	270	90,0	89,7
1984	92			88,7
1985	83			87,3
1986	91	262	87,3	87,0
1987	88			86,7
1988	82			83,0
1989	90	249	83,0	82,3
1990	77			82,3
1991	80			82,6
1992	90	248	82,7	82,7
1993	78

Примеры вычисления скользящего среднего:

1982 г. (84 + 94 + 92) / 3 = 90,0;

1983 г. (94 + 92 + 83) / 3 = 89,7;

1984 г. (92 + 83 + 91) / 3 = 88,7;

1985 г. (83 + 91 + 88) / 3 = 87,3.

Составляется график. На оси абсцисс указываются годы, на оси ординат – число хозяйств с высокой урожайностью. Указываются координаты числа хозяйств на графике и соединяют полученные точки ломаной линией. Затем указываются координаты скользящей средней по годам на графике и соединяются точки плавной полужирной линией.

Более сложным и результативным методом является сглаживание (выравнивание) рядов динамики с помощью различных функций аппроксимации. Они позволяют формировать плавный уровень общей тенденции и основную ось динамики.

Наиболее эффективным методом сглаживания с помощью математических функций является простое экспоненциальное сглаживание. Этим методом учитываются все предшествующие наблюдения ряда по формуле:

S_t = α ∙ X_t + (1 – α) ∙ S_t–1 ,

где S_t – каждое новое сглаживание в момент времени t; S_{t – 1} – сглаженное значение в предыдущий момент времени t –1; X_t – фактическое значение ряда в момент времени t; α – параметр сглаживания.

Если α = 1, то предыдущие наблюдения полностью игнорируются; при величине α = 0 игнорируются текущие наблюдения; значения α между 0 и 1 дают промежуточные результаты. Изменяя значения этого параметра можно подобрать наиболее приемлемый вариант выравнивания. Выбор оптимального значения α осуществляется путем анализа полученных графических изображений исходной и выравненной кривых, либо на основе учета суммы квадратов ошибок (погрешностей) вычисленных точек. Практическое использование этого метода следует проводить с использованием ЭВМ в программе MS Excel. Математическое выражение закономерности динамики данных можно получить с помощью функции экспоненциального сглаживания.

10.3. Выравнивание по способу наименьших квадратов

Предлагаемый способ один из самых эффективных. Суть его следующая: из бесконечного числа линий, которые могли бы быть теоретически проведены между точками, изображающими исходный ряд, выбирается только одна прямая, которая имела бы наименьшую сумму квадратов отклонений исходных (эмпирических) точек от этой теоретической прямой. Выравнивание проводят по уравнению прямой y = a + bt, или по уравнению параболы второго порядка y = a + bt + ct². В основе выбора параболы для выравнивания лежит предположение о том, что не скорость динамики, а ускорение является постоянной величиной. В качестве постоянных величин выступают a, b, c порядкового номера какого-либо периода – t. После расчета постоянных величин a и b известным способом получаем следующее уравнение прямой, по которому вычисляем ряд выравнивания у¹ (табл. 10.4):

у¹ = 18,748 + 1,8382 t; R² = 0,4047.

Показателем правильности выбора того или иного уравнения служит коэффициент R².Чем ближе его значение к единице, тем больше соответствие фактического и выравненного распределений.

Современные программы статистической обработки позволяют получать различные теоретические кривые в автоматическом режиме. По результатам можно проводить экстраполяцию или интерполяцию рядов.

Таблица 10.4