Расчет данных для уравнения параболической зависимости

x	y	xy	x2	x3	x2y	x4
14,7	13,1	192,57	216,09	3176,52	2830,78	46694,89
14,9	13,7	204,13	222,01	3307,95	3041,54	49288,44
15,3	14,2	217,26	234,09	3581,58	3324,08	54798,13
15,6	14,5	226,20	243,36	3796,42	3528,72	59224,09
16,0	14,7	235,20	256,00	4096,00	3763,20	65536,00
16,7	14,6	243,82	278,89	4657,46	4071,79	77779,63
Σ 93,2	84,8	1319,18	1450,44	22615,93	20560,10	353321,18

Имеем параметры а, b, с: а= – 0,014;b = 1,13;с= – 0,93. Таким образом, уравнение параболы 2-го порядка, полученное по способу наименьших квадратов, примет следующий вид:y = – 0,014x² + 1,13x – 0,093. Сравним уравнения параболы, полученные двумя способами, подставив в эти уравнения одно из значенийх (14,7 °С):

y = 0,066x² – 0,19x + 1,94 = 14,26 – 2,79 + 1,94 = 13,41

по способу координат точек;

y = – 0,014x² + 1,13x – 0,093 = 3,02 + 16,61 – 0,093 = 13,49

по способу наименьших квадратов.

6.4. Множественная регрессия

Если при установлении зависимости между признаками используется больше одной независимой переменной, то применяют множественный регрессионный анализ. Проведение такого анализа возможно в следующих условиях: распределение зависимой переменной при различных значениях независимых должно быть близко к нормальному; дисперсия зависимой переменной при разных значениях признаков х должна считаться одинаковой. С увеличением числа признаков и в случаях нелинейной множественной регрессии необходимо использовать ЭВМ. Поэтому рассмотрим простой вариант множественной линейной регрессии без применения ЭВМ, когда один признак зависит от двух факторов. Общее уравнение линейной множественной регрессии имеет вид

y = a + bx + cz (6.9)

Для вычисления параметров а, b, с составляется следующая система уравнений:

(6.10)

Соответствие между теоретическими (у') и эмпирическими (у) значениями признака устанавливают с помощью критериев хи-квадрат или Стьюдента (см. п. 1.6). При необходимости ошибка уравнения линейной множественной регрессии определяется по формуле:

, (6.11)

где а, b, с – значения параметров уравнения множественной регрессии; п – число сопряженных значений вариант; k – число коэффициентов уравнения регрессии (а, b, с плюс свободный член).

Другие параметры для (6.11) вычисляются по формулам:

Σ=Σy² – n; (6.12)

Σa_ya_x = Σxy – nM_yM_x; (6.13)

Σa_ya_z = Σyz – nM_yM_z. (6.14)

Пример. При изучении зависимости между биомассой трав (у, г/м²) в агроландшафте, с одной стороны, температурой (х, °С) и количеством атмосферных осадков (z, мм) с другой, установлена прямая односторонняя зависимостьу отх иz. С практической точки зрения целесообразно составить уравнение множественной регрессии, которое можно было бы использовать для прогноза биомассы по температуре и количеству выпавших осадков. Данные пох, у, z представляют собой средние многолетние показатели за период вегетации (май, июнь):

y	300	350	370	420	450	500
x	14,5	15,0	15,6	17,2	18,5	19,3
z	82	95	105	120	130	140

Таблица 6.5