- •Н.К. Чертко, а.А. Карпиченко
- •Введение
- •Глава 1 элементы математической статистики
- •1.2. Генеральная совокупность и выборка
- •1.2. Обработка вариационного ряда
- •Группировка вариант в классы при дискретной изменчивости признака
- •1.3. Показатели описательной статистики
- •Статистические показатели распределения
- •Форма записи и расчета среднеквадратического отклонения
- •Сравнительная оценка состава работников предприятия
- •1.4. Оценка статистических параметров по выборочным данным
- •1.5. Теоретические функции распределения
- •1.6. Статистические критерии различия
- •Форма обработки вариант в независимых совокупностях
- •Форма обработки данных сопряженных наблюдений
- •Сравнение эмпирических и теоретических частот с использованием критерия Пирсона
- •Глава 2 дисперсионный анализ
- •2.1. Однофакторный дисперсионный анализ
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •Результаты однофакторного дисперсионного анализа
- •Влияние высоких доз торфа на урожай ячменя
- •2.2. Двухфакторный дисперсионный анализ
- •Двухфакторный дисперсионный комплекс
- •Результаты двухфакторного дисперсионного анализа
- •Глава 3 кластерный анализ
- •Число разбиений в зависимости от их заданной доли и вероятности
- •Число разбиений в зависимости от сочетаний числа кластеров и объектов
- •3.1. Этапы работ в кластерном анализе
- •3.2. Вроцлавская таксономия
- •Матрица таксономических метрик
- •3.3. Метод дендро-дерева б. Берри
- •Количественные показатели для зонирования города
- •Нормализованные безразмерные данные
- •Глава 4 информационный анализ
- •4.1. Показатели неопределенности объектов
- •Расчет показателя энтропии для установления оптимального времени отбора образцов
- •4.2. Применение информационного анализа в картографии
- •Решетка для вычисления информационных показателей
- •Глава 5 корреляционный анализ
- •5.1. Линейная корреляция
- •Исходные данные для расчета коэффициента корреляции
- •5.2. Нелинейная корреляция
- •Исходные данные по упругости водяного пара
- •5.3. Частная (парциальная) корреляция
- •Исходные данные для расчета коэффициентов частной корреляции
- •Итоговые значения коэффициентов корреляции
- •5.4. Понятие о множественной корреляции
- •5.5. Оценка различий коэффициентов корреляции
- •5.6. Ранговая корреляция
- •Оценка ландшафта для рекреационной цели
- •Расчет рангового коэффициента корреляции
- •Глава 6 регрессионный анализ
- •6.1. Линейная зависимость
- •Расчет данных для уравнения линейной зависимости
- •Расчет данных для определения точности выравнивания линии
- •6.2. Гиперболическая зависимость
- •Расчет данных для уравнения линейной зависимости
- •6.3. Параболическая зависимость
- •Расчет данных для уравнения параболической зависимости
- •6.4. Множественная регрессия
- •Расчет данных для уравнения линейной множественной регрессии
- •Расчет данных для критерия хи-квадрат
- •Глава 7 факторный анализ
- •7.1. Сущность и возможности применения
- •7.2. Последовательность операций
- •Корреляционная матрица r для восьми параметров агроландшафта
- •Корреляционная матрица r с приближенными значениями общностей
- •Редуцированная корреляционная матрица Rx
- •Квадрат корреляционной матрицы
- •Показатели четвертой и восьмой степени корреляционной матрицы
- •Квадрат корреляционной матрицы
- •Матрица произведений
- •Матрица первых остаточных коэффициентов корреляции r1
- •Этапы вычисления приближенных значений коэффициентов
- •Вычисление коэффициентов при факторе f2
- •Этапы вычисления приближенных значений коэффициентов
- •Глава 8 методы линейного программирования
- •8.1. Составные части общей модели линейного программирования
- •8.2. Распределительная модель линейного программирования
- •Исходные данные для землеустроительной задачи
- •8.3. Правила работы с матрицей
- •Исходные данные транспортной задачи
- •Допустимые планы перевозок грузов
- •8.4. Метод потенциалов
- •Базисный допустимый план (матрица 1)
- •Результаты первого перераспределения поставок (матрица 2)
- •Результаты второго распределения поставок (матрица 3)
- •Результаты третьего распределения поставок (матрица 4)
- •8.5. Дельта-метод Аганбегяна
- •Рабочая матрица прироста затрат
- •Первый вариант перемещения поставки
- •Второе перемещение поставки
- •Третье перемещение поставки
- •Четвертое перемещение поставки
- •8.6. Модификация моделей транспортных задач
- •8.6.1.Открытая транспортная задача
- •8.6.2. Максимизация целевой функции
- •8.6.3. Ограничения по времени транспортировки продукции
- •Учет времени перевозки продукции
- •8.6.3. Транспортно-производственная задача
- •8.6.4. Многоэтапная транспортная задача
- •Форма записи исходных данных в четырехблочную матрицу
- •8.6.5. Многопродуктовая транспортная задача
- •Мощности и спросы по торфу
- •Мощности и спросы по бурому углю
- •Оптимальный вариант распределения поставок в условных единицах
- •8.6.6. Лямбда-задача
- •Глава 9 методы теории графов
- •9.1. Элементы теории графов
- •9.2. Топологический анализ сетей
- •Матрица кратчайших расстояний между вершинами и индексы доступности вершин
- •9.3. Сетевые постановки транспортных задач
- •9.4. Сетевая постановка открытой транспортной задачи
- •9.5. Транспортно-производственная задача
- •9.6. Классификация с использованием графов
- •Выращивание сельскохозяйственных культур в разрезе областей
- •Глава 10 динамические ряды
- •Виды трендовых моделей
- •10.1. Показатели динамического ряда
- •Уровень производства промышленной продукции (пп) предприятия
- •10.2. Сглаживание динамических рядов
- •Сглаживание динамического ряда укрупнением интервалов и скользящим средним
- •10.3. Выравнивание по способу наименьших квадратов
- •Выравнивание динамического ряда по способу наименьших квадратов
- •Глава 11 математическое моделирование в географии
- •11.1. Математическое моделирование природных и общественных процессов
- •Глава 12 географическое поле
- •12.1. Операции над статистическими поверхностями
- •12.2. Методика составления карт изокоррелят
- •Литература Основная
- •Дополнительная
- •Приложения
- •1. Таблица достаточно больших чисел
- •2. Случайные числа
- •3. Значение критерия τ в зависимости от объема выборки n и уровня значимости α
- •4. Значения критерия Стьюдента t при различных уровнях значимости
- •6. Значения критерия хи-квадрат (Пирсона)
- •5. Критические значения f (критерия Фишера)
- •7. Минимальные существенные значения коэффициентов корреляции
- •8. Соотношение между r и z' для z' значений от 0 до 5*
- •9. Значения коэффициента корреляции рангов Спирмена для двусторонних пределов уровня значимости α
- •10. Алгоритм вычисление основных показателей описательной статистики и критерия Стьюдента в Microsoft Office Excel 2003
- •11. Алгоритм проведения однофакторного дисперсионного анализа в Microsoft Office Excel 2003
- •12. Алгоритм проведения корреляционного и регрессионного анализов в Microsoft Office Excel 2003
- •13. Алгоритм проведения кластерного анализа в Statsoft Statistica 6.0
- •14. Алгоритм проведения факторного анализа в Statsoft Statistica 6.0
- •15. Решение задачи на оптимальность
- •Оглавление
- •Глава 9 146
- •Глава 10 166
- •Глава 11 174
- •Глава 12 179
6.1. Линейная зависимость
Линейная регрессия на графике изображается в виде прямой так, чтобы точки эмпирической линии располагались по обе стороны ее и по возможности ближе к ней.
Известно следующее уравнение линейной регрессии:
y = ax + b (6.1)
где у – значение зависимой переменной (признак); х – значение независимой переменной (фактор, влияющий на признак); а – коэффициент регрессии, показывающий степень зависимости между переменными (может быть также выражен тангенсом угла наклона линии регрессии к оси абсцисс); b – ордината линии, показывающая смещение начала прямой относительно начала координат.
Определим двумя способами неизвестные параметры а и b. Используем для этого пример нахождения линейной корреляции (см. п. 5.1).
Пример. Следует установить, как влияет гидролитическая кислотность (хi, мэкв. на 100 г почвы) на содержание подвижного марганца(уi, мг/кг почвы). В результате аналитических работ получены следующие данные:
хi |
69 |
70 |
72 |
75 |
83 |
90 |
91 |
95 |
95 |
уi |
18 |
48 |
42 |
31 |
56 |
84 |
68 |
90 |
107 |
Для решения поставленной задачи используем способ координат точек. Результаты наблюдений наносим на график, затем проводим прямую так, чтобы число точек по обе стороны линии было одинаковым (рис. 6.2). Для расчета параметрова иb выбираем две точки, которые находятся на прямой или рядом с ней (одну в начале и одну в конце). Используем координаты точек 1-й и 8-й:x1= 69,у1 = 18;х8 = 95,y8 = = 90. Подставляя значения переменных в общее уравнение прямой, получаем систему уравнений:
Решаем эту систему относительно а иb: b= 18 – 69а; 90 = 95a + (18 – 69a); 72 = =26a;a= 2,76 (илиtg= 70°06');b = 18 – 69 ∙ 2,76 = –173,07. Получив количественное значение параметровaиb, связь междух иу можно выразить конкретным уравнением регрессии:
y = 2,76x– 173,07,r0,99= 0,87.
Это уравнение можно использовать для расчета содержания марганца, если имеются данные по гидролитической кислотности (с учетом заданных условий).
Приведенное выше уравнение регрессии можно получить также способом наименьших квадратов, используя координаты всех точек. Этот способ заключается в построении такой линии на графике, чтобы сумма квадратов отклонений от нее до точек эмпирической линии регрессии была наименьшей. Для определения параметров а и b составляется система уравнений:
(6.2)
Систему уравнений выводим следующим образом. Подставляем в общее уравнение прямой (6.1) все имеющиеся значения по гидролитической кислотности (х) и содержанию подвижного марганца (y), суммируем правые и левые части и получаем первое уравнение:
(6.3)
Рис. 6.2.Сравнение местоположения эмпирических линий (1,2) с теоретической (3) по зависимости содержания подвижного марганцау от гидролитической кислотностих (α= 70o06' =tgx2,76): для эмпирических линий1y= 2,30x– 130,9;
для 2y= 2,76x– 173,0;r0,99= 0,87.
Затем каждое исходное уравнение из (6.3) умножаем на соответствующее значение х; просуммировав правые и левые части, получим второе уравнение:
Для расчета параметров а и b составляем табл. 6.1. Полученные данные подставляем в систему уравнений (6.2):
Решая систему, находим искомые параметры: а = 2,30 (tg = 66°30'); b= = –130,9. Подставив полученные показатели в искомое уравнение регрессии, находим y = 2,30x –130,9, r0,99=0,87.
Хотя значения параметров а и b, рассчитанные двумя способами, близки между собой, второй способ (наименьших квадратов) более точно определяет положение линии регрессии.
Таблица 6.1