Расчет данных для уравнения линейной зависимости

x	y	xy	x2	y'=ax + b	Расчет критерия χ2
					у – у'	(у – у')2
69	18	1242	4761	27,8	–9,8	96,04	3,45
70	48	3360	4900	30,1	17,9	320,41	10,64
72	42	3024	5184	34,7	7,3	53,29	1,54
75	31	2325	5625	41,6	–10,6	112,36	2,70
83	56	4648	6889	60,0	–4,0	16,00	0,27
90	84	7560	8100	76,1	7,9	62,41	0,82
90	56	5040	8100	76,1	–20,1	404,01	5,31
91	68	6188	8281	78,4	–10,4	108,16	1,38
95	90	8550	9025	87,6	2,4	5,76	0,07
95	107	10165	9025	87,6	19,4	376,36	4,30
Σ 830	600	52102	69860				χ2= 30,47

Кроме того, коэффициенты a и b для уравнения регрессии также могут быть рассчитаны на основе исходных данных (x, y) по формулам, которые обеспечивают наименьший квадрат отклонений этих точек от линии регрессии (метод наименьших квадратов):

,

После составления уравнения регрессии и определения параметров а и b производим расчет точек у' теоретической линии регрессии. Для этого в уравнение регрессии поочередно подставляем значения х. Степень совпадения теоретической и эмпирической линии регрессии можно проверить, используя критерий хи-квадрат. Цифровые показатели для (у – у')²/у' (см. табл. 6.1) суммируем и получаем χ²= 30,47. Поскольку χ_ф² = 30,47 > χ_т² = 21,66 при Р = 0,99 для ν = 9, то можно указать на недостаточное соответствие теоретической линии регрессии эмпирическому ряду. Составленные уравнения регрессии можно проверить на точность зависимости между переменными (х, у) не только по критерию хи-квадрат, но и по коэффициенту точности выравнивания линии r₁, отражающему степень приближения (соответствия) фактических данных наблюдения к вероятным. Этот коэффициент определяем следующим образом:

, (6.4)

где (у_ф – М_ф) = α – отклонение индивидуальных вариант от общего среднего арифметического по у; (у_ф – у_в) = β – отклонение индивидуальных экспериментальных вариант по у от расчетных по уравнению.

На основании исходных данных, полученных в табл. 6.2, используя формулу (6.4), имеем:

.

Принято считать: если r₁ > 0,95, то уравнение регрессии соответствует более точному положению линии на графике. При r₁ < 0,95 необходимо найти другую математическую зависимость. В приведенном примере r₁ = 0,88 < 0,95, поэтому следует подобрать другую математическую зависимость. Такие же выводы получены при проверке на точность зависимости между переменными по критерию хи-квадрат. Оба критерия оценки (χ², r₁) на точность выравнивания линии уравнения регрессии используются и для других форм регрессионной зависимости.

Таблица 6.2

Расчет данных для определения точности выравнивания линии

y		α-отклонения		β-отклонения
yф	yв	уф – Мф	(уф – Мф)2	уф – ув	(уф – ув)2
18	27,8	–42	1764	–9,8	96,04
48	30,1	–12	144	17,9	320,41
42	34,7	–18	324	7,3	53,29
31	41,6	29	841	–10,6	112,36
56	60,0	–4	16	–4,0	16,00
84	76,1	24	576	7,9	62,41
56	76,1	–4	16	–20,1	404,01
68	78,4	4	16	–10,4	108,16
90	87,6	30	900	2,4	5,76
107	87,6	47	2209	19,4	376,36
Мф=60			Σ 6806		Σ 1554,80

Ошибку уравнения регрессии можно определить по формуле

,

где п – число точек линии регрессии (см. рис. 6.2); k — число коэффициентов в уравнении регрессии (два плюс свободный член уравнения).