Исходные данные для землеустроительной задачи

Угодья и севообороты	bj ai	Чистый доход при размещении на участке, руб/га (Сij)
		1 пастбище, 250 га	2 пашня, 100 га	3 пашня, 520 га	4 пашня, 310 га	5 сенокосы, 130 га
Кормовой	600 га	800	1100	800	600	440
Полевой	560 га	1000	1800	2000	2200	2000
Улучшенные сенокосы	150 га	550	440	380	300	700

На «транспортном» языке эта задача может быть описана следующим образом. «Ресурсы» в источниках (A_i) – площади севооборотов и улучшенных сенокосов; «потребности в ресурсах» (B_j) – площади участков; «прибыль от транспортных операций» (С_ij) – чистый доход с единицы площади; «транспортируемый ресурс»(Х_ij) – часть площадиi-го севооборота или угодья, размещаемого наj-ом участке; максимальная целевая функция (F) – чистый доход хозяйства от рационального размещения и трансформации угодий;. Чистый доход проставляется в правом верхнем углу каждой клетки (С_ij, руб/га). Дальнейшее решение задачи проводится с использованием метода потенциалов.

Для решения транспортных задач разработан ряд методов: функционала, потенциала, дельта-метод, лямбда-задача. Используются модифицированные модели: транспортно-производственная, многоэтапная, многопродуктовая.

Вначале рассмотрим основные правила работы с матрицей, составление и перемещение по цепи и расчет необходимых параметров.

8.3. Правила работы с матрицей

Расположение элемента (числа) в матрице строго фиксировано. Строку обозначают буквой i, столбец – j, элемент матрицы – a_ij (где i – номер строки, j – номер столбца). Запись a_12,7 показывает, что данный элемент расположен в 12-й строке и 7-м столбце матрицы. Цифры, указывающие строку и столбец, до 10 не разделяют запятой (a₂₃).

Матрицу обозначают заглавной буквой (A, B, C):

A

В матрице число строк равно m, столбцов – n. В сокращенном виде матрицу записывают A=(a_ij).

Размер матрицы определяют путем произведения m на n. Запись означает, что в матрице из чисела необходимо просуммировать все числа матрицы по столбцам.

Матрицу можно транспонировать, т. е. перемещать элементы матрицы так, что ее строки становятся столбцами, а столбцы – строками. При большинстве вычислений (кроме умножения матрицы на матрицу) не имеет значения, что считать в ней строками, а что столбцами.

Вектор в матрице представляет собой упорядоченную последовательность элементов или ряд, состоящий из некоторого количества элементов. Поэтому вектором можно считать любую строку или любой столбец матрицы. Если размер матрицы m ∙ n, то она состоит либо из m векторов, в каждом из которых по n элементов, либо из n векторов, в каждом из которых по m элементов.

При решении транспортной задачи используются следующие обозначения:

i – индекс поставщика (i = 1, 2,…, m);

j – индекс потребителя (j = 1, 2,…, n);

a_i – мощность i-го поставщика;

b_j – спрос j-го потребителя;

–затраты на перевозку продукции от i-го поставщика j-му потребителю;

Х_ij – количество продукции, которое необходимо перевезти от i-го поставщика j-му потребителю.

Условия транспортной модели приведены выше в составных частях общей модели линейного программирования. Совокупные затраты на перевозку сводятся к минимуму целевой функции. Исходная информация для решения транспортной задачи представлена в матрице:

Потребители		В1	В2	……	Вn
Поставщики	bj  ai	b1	b2	…..	bn
А1	a1	C11 X11	C21 X12	…..	C1n X1n
А2	a2	C21 X11	C22 X22	…..	C2n X2n
……	…..	…..	…..	…..	…..
Аm	am	Cm1 Xm1	Cm2 Xm2		Cmn Xmn

В транспортной задаче m · n > (m + n – 1) можно составить множество планов перевозок. Такие планы называют допустимыми.

В табл. 8.2 дана запись исходных данных задачи по 3-м поставщикам и 4-м потребителям. Указаны мощности поставщиков (а_i) и спросы потребителей (b_j), в правом верхнем углу клетки – затраты на перевозку единицы груза (C_ij).

Таблица 8.2