Однофакторный дисперсионный анализ

Варианты опыта (фактор)		Урожай ячменя по повторностям, ц/га*				По повторностям (признакам) (i)
							()2	Mi
Контроль (фон)							6889	20,75
Фон+200 т/га торфа							15 625	31,25
Фон+300 т/га торфа							20 164	35,50
Фон+400 т/га торфа							21 025	36,25
По факторам (k)		121	124	126	124	495 15935	63703	Мобщ 30,93
		3821	3986	4102	4026
		14 641	15 376	15 876	15 376
	Mk	30,25	31,00	31,50	31,00	= 61 269

Примечание: * В числителе – опытные данные, в знаменателе – квадраты этих показателей

Следующий этап работы – нахождение сумм квадратов отклонений, т. е. расчленение общего варьирования признака на составные части исходя из равенства:

Θ = Θ₁ + Θ₂ + Θ₃,

где Θ – сумма квадратов отклонений по общему варьированию данных, Θ₁ – по группам фактора (варианты опыта), Θ₂ – по повторностям опыта, Θ₃ – по остаточному варьированию, вызванному неучтенными факторами.

Общая сумма квадратов отклонений вычисляется следующим образом:

Θ = Σ(Σx²_i,k) – (ΣΣx_i,k)² / N

Подставив данные из табл. 2.1, получим: Θ =15 935 – 495²: 16 = 621. Затем находим сумму квадратов отклонений по группам фактора (варианты опыта) по формуле:

Θ₁ = [Σ(Σx_i)² – (ΣΣx_i,k)²/k] / i, (2.1)

где k – число групп фактора, т. е. 4; i – число повторностей, т. е. 4. В данном случае должно выдержаться равенство N = ki = 4∙4 = 16. По формуле (2.1) вычислим:

Θ₁ = [63703 – 495² : 4] : 4 = 611,75.

Сумму квадратов отклонений по повторностям опыта находим по формуле

Θ₂ = [Σ(Σx_k)² – (ΣΣx_i,k)²/i] / k, (2.2)

где i – число повторностей, т. е. 4; k — число слагаемых в каждой сумме Σx_k, т. е. 4.

Вычисляем Θ₂ по формуле (2.2):

Θ₂ = [61269 – 495² : 4] : 4 = 3,25.

Таблица 2.2

Результаты однофакторного дисперсионного анализа

Варьирование данных	Сумма квадратов отклонений Θ	Степень свободы ν	Дисперсия σ2 = Θ/ν	Критерий Фишера
				Fф	Fт
Общее по опыту	621,00	15	41,40	–	–
По вариантам опыта	611,75	3	203,91	304,31	8,81
По повторностям	3,25	3	1,08	1,61	8,81
Случайное (остаточное)	6,00	9	0,67	–	–

Сумма квадратов отклонений по остаточному варьированию определяется из равенства

Θ₃ = Θ – Θ₁ – Θ₂. (2.3)

Подставив значение вычисленных сумм соответствующих квадратов отклонений в формулу (2.3), получим

Θ₃ = 621 – 611,75 – 3,25 = 6,00

Проводим дисперсионный анализ данных урожая ячменя (табл. 2.2). Вносим в таблицу рассчитанные суммы квадратов отклонений (Θ, Θ₁, Θ₂, Θ₃). Число степеней свободы получаем следующим образом: по общей сумме квадратов отклонений ν = N – 1 = 16 – 1 = 15; по вариантам опыта ν₁ = n₁ – 1 = 4 – 1 = 3; по повторностям ν₂ = n₂ – 1 = 4 – 1 = 3; по остаточной сумме ν₃ = ν – ν₁ – ν₂ = 15 – 3 – 3 = 9.

Дисперсия определяется путем деления сумм квадратов отклонений (Θ, Θ₁, Θ₂, Θ₃) на соответствующие им числа степеней свободы (ν, ν₁, ν₂, ν₃), что можно выразить в общем виде формулой σ² = Θ/ν, получим σ²= 621 : 15=41,40.

Оценку сходства или различия между вариантами опыта можно проводить по критерию Фишера, критерию Стьюдента или НСР.

Поскольку F_ф > F_т (см. табл. 2.2 и прил. 5), то это позволяет сделать вывод, что внесение больших доз торфа положительно влияет на величину урожая ячменя в агроландшафте.

Наиболее распространен в дисперсионном анализе для оценки результатов опыта критерий НСР, алгоритм которого приводим ниже. Вначале определяем среднее квадратическое отклонение из дисперсии, полученной в результате случайного варьирования (см. табл. 2.2): , затем вычисляем обобщенную ошибку среднего: . Поскольку ошибка среднего для всех сравниваемых вариант одна и та же, формула для расчета ошибки разности может быть преобразована:. Наименьшую существенную разность рассчитываем по формуле (1.24). Используя исходные данные, вычислим НСР по указанному выше алгоритму:

; ;

; НСР_0,95 = 0,58 ∙ 2,26 = 1,31

НСР_0,99 = 0,58 ∙ 3,25 = 1,88

Из полученных результатов дисперсионного анализа вытекает следующий вывод (табл. 2,3). Величина НСР_0,95 и НСР_0,99 меньше величины прибавки урожая зерна ячменя, поэтому внесение высоких доз торфа положительно влияет на урожай. Лучший результат получен в варианте с дозой внесения торфа 400 т/га, где прибавка зерна ячменя составила 15,5 ц/га.

В случае необходимости можно рассчитать ошибки частных средних арифметических: по повторностям:

m_п = == 0,41

по вариантам опыта:

m_в = == 0,41.

Ошибку общего среднего арифметического используют для вычисления точности опыта. Показатель точности опыта для общего среднего арифметического вычисляется следующим образом:

p_Мобщ = (m_общ/M_общ) · 100 = (0,41 : 30,90) · 100 = 1,32 %.

Поскольку р = 1,32%, т. е. < 3 %, то опыт признается достаточно точным

Таблица 2.3