Глава 8 методы линейного программирования

Линейные модели активно используются в экономике и экономической географии как достаточно эффективные в ряде ситуаций. Линейная функция (тройное правило) самая удобная, простая, хорошо разработанная математическая модель.

Линейность – это свойство математических выражений и функций. Выражение типа ах + bу, где х, у – переменные величины, а, b – постоянные числа, называется линейным относительно переменных х, у. Если переменных больше двух (х₁, х₂, …х_n), линейное выражение относительно их имеет вид:

a₁x₁ + a₂x₂ + … a_nx_n.

В линейное выражение все переменные входят в первой степени и никакие переменные не перемножаются.

Линейное программирование – это совокупность методов решения экстремальных задач, в которых цель (критерий оптимальности) и условия (ограничения) заданы уравнениями и неравенствами первой степени. Программирование используется в данной ситуации как планирование, линейное – означает, что ищется экстремум линейной целевой функции при линейных ограничениях (линейных уравнениях, линейных неравенствах). Однако вычислительные средства при решении задач этого класса играют существенную роль в повышении эффективности их приложений.

Для решения задач с применением линейного программирования эффективны следующие:

• составление смеси продукции предполагает выбор наиболее экономичного топлива, пищевых продуктов и т. д.;

• задачи производства – подбор наиболее выгодной производственной программы выпуска одного или нескольких видов продукции при использовании некоторого числа ограниченных источников сырья;

• задачи распределения, или транспортные задачи;

• комбинированные задачи – производство товаров в разных местах, задачи производства и распределения объединяют в единую задачу.

Разработан ряд алгоритмов, среди которых наиболее известны симплексный и распределительный методы. Наиболее эффективен метод эллипсоидов (графический). Оба метода базируются на последовательном улучшении первоначального плана путем повторения вычислений (интераций). После каждой интерации значение целевой функции улучшается. Процесс повторяется до получения оптимального плана, а полученный план проверяется на оптимальность простыми критериями.

Симплекс-метод более универсален, так как позволяет решать задачи, условия которых выражены в различных единицах измерения. В задачах, решаемых распределительным методом (транспортные задачи), все переменные должны иметь одну и ту же единицу измерения. Транспортные задачи являются специальной разновидностью симплекс-метода.

Землеустроительные задачи, решаемые методами линейного программирования, должны удовлетворять следующим требованиям:

• их решение не должно быть однозначным;

• иметь определенную целевую функцию, для которой ведется поиск максимального и минимального значения;

• иметь условия ограничения, формирующие область допустимых решений задачи.

8.1. Составные части общей модели линейного программирования

Все модели линейного программирования состоят из стандартных составных частей: совокупность основных переменных, линейные ограничения (условия), целевая функция, определяющая критерий оптимальности задачи.

Совокупность основных переменных характеризует размеры землепользований, площади, объемы производства, затраты материальных, трудовых, финансовых ресурсов.

Система линейных ограничений (условий) определяет область допустимых значений основных переменных. Каждое отдельное условие отражает реальное ограничение (нормы внесения удобрений, выполнение контрольных цифр бизнес-плана и т. д.).

Целевая функция представляется показателем, который обобщенно характеризует один из аспектов деятельности хозяйства данной землеустроительной задачи, например, чистый доход, валовую продукцию и т. д.

Критерий оптимальности в зависимости от условий задачи требует максимизации или минимизации целевой функции при заданных ограничениях.

В общем виде формализованная модель линейного программирования, построенная для решения задачи, в которой выделено N основных переменных x₁,…, x_N и М ограничений, будет иметь следующий вид.

Целевая функция Z =(c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_Nx_N) → max (min) (8..1)

Система ограничений:

где знак означает или ≤, или ≥, или =; константыb₁…b_M в правых частях ограничений предполагаются неотрицательными; требование не отрицательности основных переменных: x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, … , x_N ≥ 0.

Совокупность ограничений и требований неотрицательности основных переменных определяет область допустимых значений задачи.

В кратком виде вышеприведенная развернутая запись будет следующей:

(8.2)