3.4 Вирішення багатокрітеріальних задач.

Многокритериальные задачи не решаются тривиальными методами, потому что критерии, которые необходимо оптимизировать, часто могут быть противоречивыми друг другу. Однако есть некоторые методы решения таких задач.

Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной.

Это означает введение суперкритерия, т.е. скалярной функции векторного аргумента q₀(q₁(x), q₂(x), …, q_p(x)). Суперкритерий позволяет упорядочить альтернативы по величине, выделив тем самым наилучшую (величина этого критерия q₀). Вид функции определяется тем, как мы представляем себе вклад каждого критерия в суперкритерий (аддитивную и мультипликативную).

q₀ = q₀ =

Метод неформальный.

α, β – коэффициенты значимости критерия

x* = argmax q₀(q₁(x), …, q_p(x)) x X

Условная максимизация: он также использует тот факт, что разные частные критерии неравнозначны между собой. Идея в выделении основного главного критерия и рассмотрении остальных как дополнительных. То есть мы приходим к задаче нахождения условного экстремума основного критерия.

x* = arg(max q₁(x)/q_i(x) = c_i))

Метод уступок: пусть частные критерии упорядочены в порядке убывания их важности. Возьмем первый из них и найдем наилучшую из них альтернативу. Затем определим уступку, то есть величину, на которую мы согласны уменьшить достигнутое значение самого важного критерия, чтобы за счет этого увеличить значение следующего по важности критерия и т.д.

Поиск альтернативы с заданными свойствами: это случай, когда заранее могут быть указаны значения частных критериев или их границы и задача состоит в том, чтобы найти альтернативу, удовлетворяющую этим требованиям. Либо установив, что такая альтернатива в множества Х отсутствует, найти в Х альтернативу, которая подходит к поставленным целям ближе всего.

Нахождение Паретовского множества: данный способ выбора состоит в отказе от выделения единственной и наилучшей альтернативы. Здесь осуществляется попытка сократить множество исходных вариантов, то есть исключить из анализа те варианты решений, которые будут заведомо плохими. Проще говоря, если q(x) > q(y), то в множество Парето входят альтернативы х, а альтернативы у следует исключить.

3.5 Вирішення задачі вибору.

Математическая постановка задачи:

1. Множество альтернатив может быть конечным, счетным, континуальным.

2. Оценка альтернативы может осуществляться по одному или нескольким критериям, которые в свою очередь могут иметь как количественный, так и качественный характер.

3. Режим выбора может быть однократным или повторяющимся

4. Последствия выбора могут быть точно известны, иметь вероятностный характер, иметь неоднозначный исход.

5. Ответственность за выбор может быть односторонней или многосторонней.

6. Степень согласованности целей при многостороннем выборе может варьироваться от полного совпадения интересов сторон до их противоположности.

Выбор как максимизация критерия:

Пусть х – некоторая альтернатива из множества Х. Считается, что для всех х є Х может быть задана функция q(x), которая называется критерием и обладает свойством: если альтернатива х₁ предпочтительнее альтернативы х₂, то q(x₁) > q(x₂), и обратно.

Выбор любой альтернативы приводит к однозначно известным последствиям и заданный критерий q(x) численно выражает оценку этих последствий, то наилучшая альтернатива x* может быть рассчитана следующим образом: х* = argmax q(x)

Выбор в условиях неопределенности:

Рассмотрим случай, когда выбор альтернативы неоднозначно определяет последствия сделанного выбора. Пусть имеется набор возможных исходов y є Y, из которых один окажется совмещенным с выбранной альтернативой, но какой именно в момент выбора неизвестно, а станет ясно позже, когда выбор уже сделан и изменить ничего нельзя. При различной конкретизации этой задачи она приобретает различный смысл и требует различных методов решения.

Критерии сравнения альтернатив при неопределенности исходов:

1. Критерий выбора «наименьшего из зол». Максиминный критерий (в каждой из строк матрицы платежей находится наименьший выигрыш, который характеризует гарантированный выигрыш в самом худшем случае и считается оценкой альтернативы х_i. Теперь находим альтернативу х*, использующую наибольшее значение этой оценки: х* = argmaxmin q_ij.

2. Критерий минимаксного сожаления. По платежной матрице вычисляется матрица вычисляется матрица сожаления S. Элементы, которые определяются S_ij = q_ij – min q_ij.

x* = argminmax S_ij.

3. Критерий оптимизма-пессимизма. Сводится к взвешенной комбинации наилучшего и наихудшего исхода.

g(x_i) = α min q_ij + (1-α) max q_ij.

α – показатель оптимизма-пессимизма.

Неопределенность в момент выбора характеризуется распределением потери выигрышей по исходам, связанным с каждой альтернативой. Вводя подходящую числовую характеристику этого распределения, мы получаем возможность сравнения альтернатив. Разнообразие задач теории игр связано с разными числовыми характеристиками распределения потерь, различными степенями конфликтности между сторонами с другими особенностями конкретных задач.

Выбор в условии статической неопределенности:

Необходимость выбора на основании косвенных или кривых, но обязательно зашумленных данных. Основным предположением при формализации таких задач является предположение о статичности экспериментальных данных. Оно состоит в установлении связи между истинной, но неизвестной искомой альтернативой и наблюдаемыми данными.