7.7 Основні параметри завадостійких кодів. Принципи виявлення та виправлення помилок.

Основные характеристики помехоустойчивых кодов.

В настоящее время разработано большое количество помехоустойчивых кодов.

Все эти коды подразделяются на блочные и непрерывные (рис7.2).

Рис.7.2 Классификация помехоустойчивых кодов

К блочным относятся коды, в которых каждому сообщению относится в однозначное соответствие блок из n символов. Непрерывные коды представляют непрерывную последовательность информационных и проверочных разрядов. Блочные коды разделяются на равномерные и неравномерные. Равномерные коды имеют постоянную длину кодовой комбинации. Блочные и непрерывные коды разделяются на систематические и несистематические. Под систематическим понимают код, в котором разряды могут быть разделены на проверочные и информационные. При этом их места в кодовой комбинации точно определены. Несистематические коды этим свойством не обладают.

Кроме того коды разделяются на линейные и нелинейные.

Линейными кодами являются такие, в которых сумма по модулю 2 двух разрешенных комбинаций дает разрешенную комбинацию того же кода. Нелинейные коды отмеченным свойством не владеют. Для линейного кода применяется обозначение (n, m) код, где n – число всех разрядов в кодовой комбинации; m – число информационных разрядов.

Большинство кодов, применяемых на практике, относится к линейным.

Важными показателями эффективности кода являются коэффициенты обнаружения , и необнаруженияошибок, под которыми понимают отношение числа кодовых комбинаций с обнаруженными (необнаруженными) ошибками к числу всех возможных комбинаций. Ошибки не обнаруживаются, когда переданная кодовая комбинация под воздействием помех превратится в другую разрешенную. Число всех разрешенных комбинаций приинформационных разрядах равняется. Следовательно, при передаче какой-либо кодовой комбинации возможное число случаев необнаружения ошибок будет равняется. Поскольку число всех возможных кодовых комбинаций равняется, где- количество разрядов в кодовой комбинации, то выражение для определения величиныбудет иметь вид

,

где - число избыточных разрядов. Поскольку число всех запрещенных кодовых комбинаций равняется, то коэффициентможет быть определен из выражения:

.

Часто используют понятие вероятности обнаружения () и необнаружения () ошибки. Вероятность

,

тде - вероятность возникновения ошибки в кодовой комбинации.

_,

где - вероятность искажения одного символа.

Если код позволяет исправлять ошибки кратности до , то вероятность ошибки в кодовой комбинации определяется выражением

(7.1)

где - число сочетаний изпо.

Приведенные выражения справедливы при возникновении взаимонезависимых ошибок. Они применимы и при наличии групповых ошибок, если при кодировании используется так называемое перемежение, о чем будет сказано несколько ниже.

Применение помехоустойчивых кодов обеспечивает возможность борьбы с ошибками. Однако это достигается за счет введения дополнительных избыточных символов, которые тоже искажаются. Поэтому при оценке эффективности помехоустойчивых кодов используют так называемую эквивалентную вероятность ошибки , определяемую по формуле

.

Принципы обнаружения и исправления ошибок

При передаче данных осуществляется объединение отдельных единичных элементов в кодовые комбинации, по которым определяется принятое сообщение. У обычного (не помехоустойчивого) кода для каждой кодовой комбинации во всей совокупности есть другая комбинация, отличающаяся от первой лишь одним разрядом. При искажении одного из разрядов кодовая комбинация превратится в другую и поэтому принятое сообщение будет выдано с ошибкой. При использовании помехоустойчивого кода передаются в канал не все кодовые комбинации, которые можно сформировать из имеющегося числа разрядов, а лишь обладающие определенным свойством, и называемые разрешенными. Другие неиспользованные комбинации называются запрещенными. Введение дополнительных отличных признаков в переданные комбинации позволяет существенно повысить правильность классификации. Помехоустойчивые коды подразделяются на коды, которые обнаруживают ошибки, и коды, которые исправляют ошибки.

При использовании кодов, обнаруживающих ошибки, все множество n-разрядных комбинаций разбивается на два непересекающихся подмножества. Одно подмножество называется разрешенной, а другое запрещенной.

Рис.7.1 К пояснению принципа кодирования

Передаются только разрешенные разрешенные кодовые комбинации, которые имеют определенное свойство. Если принятая кодовая комбинация относится к разрешенным, то считается, что ошибки нет.

При построении кодов, исправляющих ошибки, все множество кодовых комбинаций разбивается на ряд непересекающихся подмножеств (Рис 7.1 б).

В каждом подмножестве одна разрешенная комбинация. При приеме любой комбинации из данного подмножества потребителю выдается разрешенная комбинация этого подмножества.

Возможности по обнаружению или исправлению ошибок определяются числом позиций, на которых отличаются разрешенные кодовые комбинации, то есть кодовым расстоянием.

Кодовое расстояние между i-ю и j-ю кодовыми комбинациями определяется по формуле

,

где - значение символов-й позиции i-й и j-й кодовых комбинаций.

В общем случае необходимое кодовое расстояние для обеспечения обнаружения всех ошибок кратности до включительно определяется выражением.

При исправлении ошибок кратности до включительно кодовое расстояние должно равняться. Из этих выражений видно, что.

Необходимое кодовое расстояние при исправлении ошибок кратности до включительно и обнаружения ошибок кратности отдокодовое расстояние должно равняться. Необходимое кодовое расстояние, а следовательно, и помехоустойчивость кода определяется избыточностью кода, то есть числом введенных проверочных символов.

Обозначим число информационных разрядов в передаваемом сообщенни . К ним добавятся проверочных разрядов.

Определим количество проверочных разрядов , необходимое для исправления ошибок кратности довключительно. Для этого необходимо, чтобы с помощью проверочных разрядов можно было описать следующие ситуации:

ошибка отсутствует - 1 случай;

одиночная ошибка - случаев; двукратная ошибка -случаев;

ошибка кратности -случаев

где - число соединений спо,.

Таким образом, количество проверочных разрядов для исправления ошибок кратности, и меньше определяется из следующего неравенства:

откуда

Данным выражением можно воспользоваться и для нахождения числа проверочных разрядов для обнаружения ошибок. Для этого необходимо использовать тот факт, что число ошибок, которые обнаруживаются, в два раза больше числа ошибок, которые исправляются.

Следовательно, для обнаружения ошибок количество проверочных элементов должно удовлетворять неравенства