4.3. Метод класичного варіаційного числення. Рішення варіаційної задачі із закріпленими граничними крапками.
4.4. Метод класичного варіаційного числення. Рівняння Ейлера-Лагранжа.
Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).
Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум.
Пусть задан функционал
с
подынтегральной функцией 
,
обладающей непрерывными первымичастными
производнымии называемойфункцией
Лагранжа, где черезf' обозначена
первая производная f по x.
Если этот функционал достигает экстремума
на некоторой функции 
,
то для неё должно выполнятьсяобыкновенное
дифференциальное уравнение
которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.
Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.
Если
—
путь в
-мерном
пространстве, то он доставляет экстремум
функционалу
только если удовлетворяет условию
В
физических приложениях
когда 
являетсялагранжианом(имеется
в виду лагранжиан некоторой физической
системы; то есть еслиJ — действиедля
этой системы), эти уравнения — суть
(классические) уравнения движения такой
системы. Это утверждение может быть
прямо обобщено и на случай бесконечно
мерногоq.
Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции
переменных.
Если
—
какая-либо, в данном случаеn-мерная,
поверхность, то
где 
—
независимые координаты,
,
,
доставляет
экстремум если только 
удовлетворяетуравнению
в частных производных
Если 
и
—
функционал энергии, то эта задача
называется «минимизацией поверхности
мыльной плёнки».
Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.
4.5. Постановка задачі оптимального управління. Класифікація задач оптимального управління.
-
значение к-го в каждый момент времени
описания некоторой физ. системы.
,
(1) - вектор управления
Вектор фазовой траектории.
Могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств.
(2)
(3)
(4)
При
заданных уравнениях объекта управления
(1), ограничениях(2) и краевых условий(3)
требуется найти такие управления
и
фазовую траекторию х*(t), при которых
показатель качества I принимал бы min или
max значения.
Требования к показателю качества управления:
- должен иметь прямое отношение к существу задачи;
- должен быть критичным по отношению к тем параметрам, значения которых следует определить;
- должен быть наиболее простым из всех обладающих должной критичностью.
Задача Больца:
(5)
Задача Лагранжа:
(6)
Задача Майера:
(7)
Общий
вид:
Если
записать ЗМ
,
то ее называют задачей терминального
управления.
-
задача максимального быстродействия
Для следящих систем ЗЛ:
Q – зад., неотр. опред. сим. (часто диагональная) матрица весовых коэф.(матрица штрафов за ошибки)
XT – 1*n
X – n*1
(1*n)(n*n)(n*1)=число
(1*n)(m*n), если m=n
(n*1)(1*n)=n*n
Задача на min энергии:
Ф-л зависит только от управления, в этом случае:
Оптимальный линейный регулятор
