Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
007.docx
Скачиваний:
72
Добавлен:
13.03.2016
Размер:
7.55 Mб
Скачать

4.3. Метод класичного варіаційного числення. Рішення варіаційної задачі із закріпленими граничними крапками.

4.4. Метод класичного варіаційного числення. Рівняння Ейлера-Лагранжа.

Уравнения Эйлера — Лагранжа являются основными формулами вариационного исчисления, c помощью которых ищутся стационарные точки и экстремумы функционалов. В частности, эти уравнения широко используются в задачах оптимизации, и, совместно с принципом стационарности действия, используются для вычисления траекторий в механике. В теоретической физике вообще это (классические) уравнения движения в контексте получения их из написанного явно выражения для действия (лагранжиана).

Использование уравнений Эйлера — Лагранжа для нахождения экстремума функционала в некотором смысле аналогично использованию теоремы дифференциального исчисления, утверждающей, что лишь в точке, где первая производная функции обращается в нуль, гладкая функция может иметь экстремум.

Пусть задан функционал

с подынтегральной функцией , обладающей непрерывными первымичастными производнымии называемойфункцией Лагранжа, где черезf' обозначена первая производная f по x. Если этот функционал достигает экстремума на некоторой функции , то для неё должно выполнятьсяобыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется уравнением Эйлера — Лагранжа.

Существует также множество многомерных вариантов уравнений Эйлера — Лагранжа.

  • Если — путь в-мерном пространстве, то он доставляет экстремум функционалу

только если удовлетворяет условию

В физических приложениях когда являетсялагранжианом(имеется в виду лагранжиан некоторой физической системы; то есть еслиJ — действиедля этой системы), эти уравнения — суть (классические) уравнения движения такой системы. Это утверждение может быть прямо обобщено и на случай бесконечно мерногоq.

  • Другое многомерное обобщение получается при рассмотрении функции переменных. Если— какая-либо, в данном случаеn-мерная, поверхность, то

где — независимые координаты,,,

доставляет экстремум если только удовлетворяетуравнению в частных производных

Если и— функционал энергии, то эта задача называется «минимизацией поверхности мыльной плёнки».

  • Очевидная комбинация двух описанных выше случаев используется для получения уравнений движения распределенных систем, таких как физические поля, колеблющиеся струны или мембраны и т.п.

4.5. Постановка задачі оптимального управління. Класифікація задач оптимального управління.

- значение к-го в каждый момент времени описания некоторой физ. системы.

, (1) - вектор управления

Вектор фазовой траектории.

Могут быть наложены ограничения в виде равенств и неравенств.

(2)

(3)

(4)

При заданных уравнениях объекта управления (1), ограничениях(2) и краевых условий(3) требуется найти такие управления и фазовую траекторию х*(t), при которых показатель качества I принимал бы min или max значения.

Требования к показателю качества управления:

- должен иметь прямое отношение к существу задачи;

- должен быть критичным по отношению к тем параметрам, значения которых следует определить;

- должен быть наиболее простым из всех обладающих должной критичностью.

Задача Больца:

(5)

Задача Лагранжа:

(6)

Задача Майера:

(7)

Общий вид:

Если записать ЗМ , то ее называют задачей терминального управления.

- задача максимального быстродействия

Для следящих систем ЗЛ:

Q – зад., неотр. опред. сим. (часто диагональная) матрица весовых коэф.(матрица штрафов за ошибки)

XT – 1*n

X – n*1

(1*n)(n*n)(n*1)=число

(1*n)(m*n), если m=n

(n*1)(1*n)=n*n

Задача на min энергии:

Ф-л зависит только от управления, в этом случае:

Оптимальный линейный регулятор