3. Решение задач на нахождение четвертого пропорционального (способ прямого и обратного приведения к единице, способ отношений)

Среди задач в два действия выделяется группа задач, решаемых приведением к единице. Решая такие задачи, учащиеся практически должны усвоить свойства величин, находящихся в прямо пропорциональной зависимости

В содержание задачи на так называемое простое тройное правило входят две величины, связанные пропорциональной зависимостью, при этом даются два значения одной величины и одно из соответствующих значений другой величины, требуется же найти второе значение этой величины, при условии, что третья, связанная с ними величина остается без изменения. Используя любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального [1].

В таблице дана классификация задач на нахождение четвертого пропорционального с величинами: цена, количество, стоимость.

Как видно из таблицы, первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.

Каждую из этих шести задач можно решить способом нахождения значения постоянной величины, т. е. сначала найти значение постоянной величины, а затем, используя его, найти искомое. Например, решение этим способом задачи I будет таким: 4:2·6 = 12 (сначала узнали цену моркови - значение постоянной, а затем стоимость 6 кг). Для задач I и II видов этот способ называется также способом приведения к единице. В начальных классах преимущественно используется этот способ, а начиная с 4 класса можно использовать составление уравнений. Эти задачи решаются во 3 и 4 классах. Во 3 классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью (I-IV виды), при этом включаются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; емкость одного сосуда, число сосудов, общая емкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В 4 классе рассматривается решение всех шести видов задач. Здесь вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь, весь урожай.

№ задач	Величины			Задачи
	цена	количество	стоимость
I	Постоянная	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	За 2 кг моркови уплатили 4 грн. Сколько надо уплатить за 6 кг моркови по такой же цене?
II	Постоянная	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	За 6 кг моркови уплатили 12 грн. Сколько килограммов моркови по такой же цене можно купить на 4 грн.?
III	Даны два значения	Постоянное	Дано одно значение, а другое является искомым	За кусок льняного полотна ценой по 20 грн. за метр уплатили 80 грн. Сколько уплатят за кусок шелкового полотна такой же длины, если его цена 40 грн. за метр?
IV	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянное	Даны два значения	За кусок шелкового полотна ценой по 40 грн. за метр уплатили 160 грн., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 80 грн. По какой цене покупали льняное полотно?
V	Даны два значения	Дано одно значение, а другое является искомым	Постоянная	За 6 детских костюмов ценой по 40 грн. уплатили столько же, сколько за детские пальто ценой по 120 грн. Сколько купили детских пальто?
VI	Дано одно значение, а другое является искомым	Даны два значения	Постоянная	За 2 детских пальто ценой по 120 грн. уплатили столько же, сколько за 6 детских костюмов. По какой цене покупали костюмы?

Рассмотрим способы решения задач на нахождение четвертого пропорционального, представленные в методике начального обучения математике под редакцией Л.Н. Скаткина.

Возьмем для примера задачу: «Пароход за 2 ч прошел 40 км. Сколько километров пройдет пароход за 4 ч при той же скорости?». В этой задаче известны два значения времени и одно значение расстояния, соответствующее первому значению времени: известно, что скорость движения не изменяется, требуется найти другое значение расстояния.

Рассмотрим различные способы решения этой задачи, записывая слева решение, справа - его обоснование.

/ способ решения - способ прямого приведения к единице.

Устное решение:

2 ч  40 км

1 ч  20 км

4 ч  80 км

Письменное решение:

1) 40 км : 2= 20 км;

2. 20 км • 4 = 80 км.

Приводится к единице численное значение времени, два значения которого известны.

Прямая пропорциональность:

При постоянной скорости: при уменьшении времени в 2 раза расстояние уменьшится в 2 раза; затем при увеличении времени в 4 раза расстояние увеличится в 4 раза.

// способ решения - способ обратного приведения к единице.

Обратная пропорциональность:

При постоянной скорости на прохождение 1 км пути потребуется времени в 40 раз меньше, чем на прохождение 40 км пути, т. е. 3 мин, а за 4 ч (240 мин) пароход пройдет во столько раз больше километров, во сколько раз 240 мин больше 3 мин.

Устное решение:

40 км  2 ч, или 120 мин

1 км  3 мин

4 ч, или 240 мин80 км.

Письменное решение:

1) 120 мин : 40= 3 мин;

2. 240 мин : 3 мин = 80 (км).

3. Приводится к единице численное значение расстояния, одно значение которого известно, а другое неизвестно.

Этот искусственный способ решения данной задачи приведен для того, чтобы изучающие методику представляли, что способ прямого приведения к единице и способ обратного приведения к единице может быть применен к одной и той же задаче в два действия с пропорциональными величинами.

Способ обратного приведения к единице естественно используется для решения задач, подобных следующей: «Пароход прошел за 2 ч 40 км. За сколько часов пройдет пароход при той же скорости 80 км?»

Решение этой задачи:

1) 40 км : 2 = 20 км;

2) 80 км : 20 км = 4 (ч).

/// способ решения - способ нахождения отношения.

Краткая запись задачи:

2 ч  40 км

4чх

Решение:

1) 4 ч : 2 ч = 2;

2) 40 км · 2 = 80 км.

При постоянной скорости движения во сколько раз увеличивается время, во столько же раз увеличивается и пройденное расстояние.

Замечание. Способ нахождения отношения в начальных классах может быть применен только в том случае, если числа, выражающие два различных значения одной величины, кратны одно другому. Способ обратного приведения к единице удобно использовать при решении задач, в которых требуется найти неизвестное значение количества или времени.

Задачи на пропорциональное деление вводятся в 4 классе. Эти задачи включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице.

№ задач	Величины			Задачи
	цена	количество	стоимость
I	Постоянная	Даны два или более значений	Дана сумма значений, соответствующих количеству. Найти слагаемые	Ученица купила по одинаковой цене 6 тетрадей в клетку и 4 тетради в линейку. Всего она уплатила 6 грн. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку в отдельности?
II	Постоянная	Дана сумма значений, соответствующих стоимости. Найти слагаемые	Даны два или более значений	Ученица купила по одинаковой цене тетради в клетку и линейку, всего 10 штук. За тетради в клетку она уплатила 3 грн. 50 коп., а за тетради в линейку 1 грн. 50 коп. Сколько было куплено тетрадей в клетку и в линейку в отдельности?
III	Даны два или более значений	Постоянное	Дана сумма значений, соответствующих цене. Найти слагаемые	В магазине продали одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка стоила 20 грн., а шарф 10 грн. За все проданные вещи выручили 150 грн. Сколько стоили все шапки и шарфы в отдельности?
IV	Дана сумма значений соответствующих стоимости. Найти слагаемые	Постоянное	Даны два или более значений	В магазине продали, одинаковое количество шапок и шарфов. Шапка с шарфом стоили 30 грн. За все шапки выручили 100 грн., а за все шарфы 50 грн. Сколько стоили шапка и шарф в отдельности?

В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям также вводятся в 4 классе. Они включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух следующих видов задач (см. таблицу).

N задач	Величины			Задачи
	цена	количество	стоимость
I	Постоянная	Даны два значения	Дана разность значений, соответствующих количеству. Найти каждое значение	На костюмы для участников хора купили по одинаковой цене два куска шелковой материи: в одном было 20 м, в другом 15 м. За первый кусок уплатили на 200 грн. больше, чем за второй. Сколько стоил каждый кусок материи?
II	Постоянная	Дана разность значений, соответствующих стоимости. Найти каждое значение	Даны два значения	На костюмы участникам хора купили по одинаковой цене два куска шелковой материи: за один кусок уплатили 800 грн., а за другой 600 грн. В первом куске было на 5 м материи больше, чем во втором. Сколько метров материи было в каждом куске?

Сначала рассматриваются задачи, I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

В качестве подготовительных упражнений к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 1 грн. 80 к. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат купил столько же тетрадей, сколько сестра, и еще 3 тетради и уплатил денег столько же, сколько сестра, и еще 1 грн. 80 коп. Отсюда можно заключить, что 3 тетради стоят 1 грн. 80 коп., значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин