11.До крамниці надходить товарна продукція лише трьох заводів. Обсяги продукції першого, другого та третього заводів відповідно відносяться 2:5:3. Частка браку на першому заводі2 %, на другому – 5 %, на третьому – 4 %. Яка ймовірність того, що:
а) куплений у крамниці товар виявився бракованим; б) куплений товар, який виявився якісним, виготовили на другому
заводі?
12.Імовірність того, що на контроль надходить дефектний виріб, дорівнює 0,11. Контролер бракує дефектний виріб з ймовірністю 0,9, помилково бракує стандартний виріб з ймовірністю0,1. Знайти ймовірність того, що:
а) виріб забраковано; б) виріб, який забракували, виявився якісним.
13. Кількість вантажівок на трасі– 20 %, а легкових автомобілів – 80 %. Ймовірність того, що вантажівка зайде на АЗС, дорівнює 0,4, а легкова – 0,5. До АЗС заїхала машина. Яка ймовірність того, що це легкова машина?
1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
1.5.1. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛІ
Ймовірність того, що в п незалежних випробуваннях успіх настане рівно т разів, знаходиться за формулою Я. Бернуллі
|
P |
(m) = Cm pmqn-m , |
q = 1 - p, |
(1.16) |
|
n |
n |
|
|
де р |
– ймовірність появи успіху в кожному випробуванні; |
|||
q = 1 - p – ймовірність невдачі. |
|
|
||
Число m0 , при якому ймовірність Pn (m0 ) найбільша, називається найімовірнішим числом настання подіїА. Знаходять його за формулою m0 = [(n +1) p] – ціла частина числа (n +1) p . Якщо число (n +1) p – ціле, то m0 -1 також буде найімовірнішим числом настання події А.
Приклад 1.15. Митниця дає офіційну оцінку того, що 20 % усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларують весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрати 6 осіб, які повертаються з-за кордону, то яка ймовірність того, що не менше двох з них не задекларують товар, який оподатковується?
Розв’язання. За умовою
p = 0,2; q = 0,8; n = 6; m ³ 2 (2, 3, 4, 5, 6).
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
25
Але P6 (m ³ 2) = 1 - P6 (m < 2);
P6 (m < 2) = P6 (0) + P6 (1).
Маємо:
P6 (m ³ 2) = 1 - (P6 (0) + P6 (1)).
P (0) = C 0 p 0 q 6 |
= |
6! |
(0,2)0 × (0,8)6 = 0,86. |
||||
|
|
||||||
6 |
6 |
|
0!6! |
||||
|
|
|
|||||
P (1) = C1 p1q5 |
= |
|
6! |
(0,2) × (0,8)5 = 1,2 × 0,85. |
|||
|
|||||||
6 |
6 |
|
1!5! |
|
|||
|
|
|
|
||||
P6 (m ³ 2) =1 - 0,86 -1,2 × 0,85 =1 - 0,85 (0,8 +1,2) =1 - 2 ×1,85 = 0,345.
Приклад 1.16. Батарея зробила 14 пострілів по об’єкту, ймовірність влучення в який дорівнює0,2. Знайти наймовірніше число влучень і ймовірність цього числа влучень.
Розв’язання. За умовою p = 0,2; |
n = 14. Одержимо |
|
||||||||
m0 |
= [(n +1) p]= [(14 +1) ×0,2]= 3 – ціле число, |
|
||||||||
то m0 -1 = 3 -1 = 2 – також найімовірніше число. Знайдемо |
|
|||||||||
P |
(3) = C 3 p3q11 = |
14! |
(0,2)3 ×(0,8)11 |
= |
12 ×13×14 |
(0,2)3 × (0,8)11 = 0,25. |
||||
|
|
|||||||||
14 |
14 |
|
1!3! |
|
1× 2 ×3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1.5.2. ФОРМУЛА ПУАССОНА |
|
||||||
|
|
|
|
|
P (m) » |
lm |
e-l , |
(1.17) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де l = np ( p < 0,1; |
n ® ¥). |
|
|
|
|
|
||||
Для виразу |
lm |
e-l , який розглядається як функція двох змінних |
||||||||
|
||||||||||
m!
m та l складено таблицю значень, що наведена в додатку Ж. Формула Пуассона використовується в задачах, що належать до
рідкісних подій.
Приклад 1.17. Ймовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,001. Знайти ймовірність не менше двох влучень, якщо було зроблено 5 000 пострілів.
Розв’язання |
|
|
|
|
За умовою n = 5 000; |
p = 0,001; отже, l = np = 5 000 ×0,001 = 5; |
|||
P |
(m ³ 2) = 1 - P |
(0) - P |
(1) = 1 - e-5 - 5e-5 = |
|
5 000 |
|
5 000 |
5 000 |
|
= 1 - 0,00674 - 0,03369 = 0,95957.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
26