3.10.5. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗИ ПРО РІВНІСТЬ ДИСПЕРСІЙ ДВОХ НЕЗАЛЕЖНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Перевіряти гіпотезу про рівність двох дисперсій доводиться досить часто, наприклад, під час аналізу стабільності виробничого процесу до і після введення нової технології (коливання у випуску продукції вимірюється за допомогою квадратичного відхилення), вивчення якості вимірювальних приладів (порівняння дисперсій показників окремих приладів), вивчення ступеня однорідності двох сукупностей щодо деякої ознаки (кваліфікації працівників, стажу персоналу тощо). Потреба перевірити рівність дисперсій виникає і під час порівняння середніх величин сукупностей.

Отже, припустимо, що випадкові величини X та Y, що характеризують дві статистичні сукупності, незалежні, нормально розподілені з невідомими дисперсіями D ( X ) = s x2 і D (Y ) = s y2 відповідно.

Перевіримо гіпотезу H 0 : s x2 = s y2 про рівність дисперсій випад-

кових величин X і Y. Вважають відомими:

1)дані двох незалежних вибірок обсягівn і m для випадкових величин X і Y відповідно;

2)рівень значущості a (0 < a < 1).

1)знаходимо емпіричне значення критерію за формулою (3.48);

2)за таблицею критичних точок розподілу Фішера-Снедекора для зада-

ного рівня значущостіa і ступенів вільностіk1 = n -1 і k2 = m -1 знаходимо критичну точку правосторонньої областіfкр = fкр (a, k1, k2); (додаток Д);

3)робимо висновок щодо прийняття гіпотези H0: а) якщо Feмn < fкр , то гіпотезу H0 приймаємо;

б) якщо Feмn ³ fкр , то гіпотезу H 0 відхиляємо на користь альтернативної гіпотези H1 .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

146

правилом, в якому змінюється лише методика знаходження критичного значення fкр , а саме: із таблиці критичних точок розподілу Фішера-

Снедекора критичну точку fкр = fкр (a / 2; k1; k2 ) визначаємо за рівнем значущості a2, удвічі меншого від заданого, і ступенів вільності

k1 = n -1 і k2 = m -1 (див. додаток Д).

Приклад 3.16. Дані дві незалежні вибірки обсягом n1 =10 і n =15, що отримані з генеральних сукупностей X та Y , що розподілені за нормальним законом. Знайдені виправлені вибіркові дисперсії D%x = 2, 67

та D% y =1,88 , D%x ³ D% y . Перевіримо при рівні значущості a = 0,05 нульо-

ву гіпотезу про рівність генеральних дисперсій при конкуруючій гіпотезі H1 :s x 2 > s y 2 .

Розв’язання. Знайдемо значення fкр (0,05; 9; 14) = 2,65 (див. дода-

ток Д). Критична область – правостороння. Обчислимо значення крите-

3.10.6. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗИ ПРО ЗНАЧУЩІСТЬ КОЕФІЦІЄНТА КОРЕЛЯЦІЇ

Припустимо, що двовимірна генеральна сукупність( X , Y ) розподілена нормально. Із цієї сукупності отримали вибірку обсягуn, за цією вибіркою знайдено коефіцієнт кореляції rB , який є відмінним від нуля. Оскільки вибірка випадкова, то ще не можна зробити висновок, що коефіцієнт генеральної сукупностіrГ також відмінний від нуля. Врешті-решт нас цікавить саме цей коефіцієнт, тому виникає необхід-

конкуруючій Н1 : rГ ¹ 0.

Якщо нульова гіпотеза відхиляється, то це означає, що вибірковий коефіцієнт кореляції значно відрізняється від нуля(є значущим), а X та Y – корельовані.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

147

Якщо нульова гіпотеза приймається, то вибірковий коефіцієнт кореляції незначущий, а X та Y – корельовані.

За критерій перевірки нульової гіпотези приймемо випадкову величину:

T = rB n - 21 - rB2 .

Величина T при справедливості нульової гіпотези має розподіл Стьюдента з k = n - 2 ступенями вільності.

Оскільки конкуруюча гіпотеза Н1 : rГ ¹ 0, то критична область– двостороння, яка будується виходячи з вимоги, щоб імовірність попадання критерію T у цю область у припущенні справедливості нульової гіпотези дорівнювала прийнятому рівню значущості a.

Правило. Для того, щоб при заданому рівні значущостіa перевірити нульову гіпотезу Н0 : rГ = 0 про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції нормальної двовимірної випадкової величини при конкуруючій гіпотезі Н1 : rГ ¹ 0, необхідно:

1) обчислити значення критерію, що спостерігається:

2)за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості a та ступенями вільності k = n - 2 знайти критичну точку tkp (a, k ) для двосторонньої критичної області (див. додаток Г);

3)робимо висновок стосовно висунутої гіпотези:

а) якщо Tемп < tkr , то немає підстав відхилити гіпотезу H 0 ;

б) якщо Tемп > tkr , то відхиляємо гіпотезу H 0 на користь альтернативної.

Приклад 3.17. За вибіркою обсягуn =150 , що отримана з нормально розподіленої двовимірної генеральної сукупності, обчислено вибірковий коефіцієнт кореляції rB = -0,37. Перевіримо при рівні значущості a = 0,01 нульову гіпотезу Н0 : rГ = 0 про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції при конкуруючій гіпотезі Н1 : rГ ¹ 0.

Розв’язання. Критична точка tкр (0,01;150) = 2,58 (див. додаток Г).

Обчислимо значення критерію, що спостерігається: Tемп = -0,37 148 =

1 - 0,372

= -4,85. Оскільки Tемп > tкр |, то нульова гіпотеза відхиляється, тобто X

та Y корельовані.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

148

Питання для самоконтролю

1.Що називають критерієм згоди?

2.Для чого служить критерій Пірсона?

3.Як перевірити гіпотезу про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови відомої дисперсії?

4.Як перевірити гіпотезу про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови невідомої дисперсії?

5.Як перевірити гіпотезу про порівняння дисперсії нормальної генеральної сукупності зі стандартом, як змінюється вигляд критичної області залежно від конкуруючої гіпотези?

6.Як порівнюють дисперсії двох незалежних випадкових величин? Як змінюється методика знаходження критичного значення залежно від конкуруючої гіпотези?

7.Як перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції?

Вправи

1. Підприємець припускає, що обсяг продажу нового виду продукції в кожній з п’яти торгових точок, розташованих у різних районах міста, буде однаковий. Фактичний обсяг – різний, а саме:

Оцінити значущість цієї різниці: а) при a = 0,01; б) при a = 0,05.

2. Фірма-постачальник у рекламі стверджує, що середній термін безвідмовної роботи їх продукту – 2 900 год. Для вибірки з 50 виробів середній термін безвідмовної роботи – 2 720 год. при вибірковому середньому квадратичному відхиленні 700 год. При рівні значущості 0,05 перевірити гіпотезу про те, що значення 2 900 год. є математичним сподіванням при конкуруючій гіпотезі H1 : a < a0 .

3. Отримано випадкову вибірку з 64 покупців, які цікавилися товаром А. З них цей товар придбали16 осіб. Постачальник стверджує, що цей товар повинен привернути увагу третини покупців, а середнє квадратичне відхилення дорівнює одній особі. Перевірити нульову гіпотезу H1 : a = a0 = 21 (третина від 64) при рівні значущості 0,05

при альтернативній гіпотезі H1 : a ¹ a0 .

4.Фірма-виробник жіночих прикрас, випустивши на ринок новий товар, стверджує, що 40 % покупців придбають ці прикраси. Під час розпродажу, що тривав 10 діб, придбали прикраси 29,5 % покупців, вибіркове середнє квадратичне відхилення становило16,5 %. При рівні значущості 0,05 оцінити ствердження виробника товару.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

149

5. Термін зберігання продукції, що виготовлена за технологією , А становив:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

150

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Агапов, Г. И. Задачник по теории вероятностей [Tекст] : учеб. пособие / Г. И. Агапов. – М. : Высш. шк., 1986. – 80 с.

2.Бобик, О. І. Теорія ймовірностей і математична статистика [Tекст] : підручник / О. І. Бобик, Г. І. Берегова, Б. І. Копитко ; МОН Укра-

їни. – К. : В9 Професіонал, 2007. – 560 с. – ISBN 978-966-370-0.

3.Боровков, А. А. Теория вероятностей [Tекст] : учеб. пособие / А. А. Боровков. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : Наука, ФИЗМАТ-

ЛИТ, 1986. – 432 с.

4.Бугір, М. К. Посібник з теорії ймовірності та математичної статистики [Tекст] / М. К. Бугір ; МОН УКРАЇНИ. – Тернопіль : підруч-

ники і посібники, 1998. – 176 с. – ISBN 966-562-175-0.

5.Гихман, И. И. Теория вероятностей и математическая статистика [Tекст] / И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. – К. : Вища школа, 1979. – 408 с.

6.Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятнос-

тей и математической статистике[Tекст] : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 4-е изд., стер. - М. : Высш. шк., 1998. – 400 с. – ISBN 5-06-003465-8.

7.Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Tекст] : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. – 6-е изд., стер. - М. :

Высш. шк., 1998. – 479 с. – ISBN 5-06-003464-Х.

8.Гнеденко, Б. В. Курс теории вероятностей : учебник [Текст] / Б. В. Гнеденко. – М. : Эдиториал УРСС, 2001. – 320 с.

9.Жлуктенко, В. І. Теорія ймовірностей і елементи математичної статистики : навч. посібник [Текст] / В. І. Жлуктенко, С. І. Наконечний. –

К. : УМКВО, 1991. – 251 с. – ISBN 966-574-265-5.

10.Іванюта, І. Д. Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики [Tекст] : навч. посібник / І. Д. Іванюта, В. І. Рибалка, І. А. Ру- доміно-Дусятська ; МОН України. – К. : Слово, 2003. – 272 с. – ISBN 966-8407-01-6.

11.Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Tекст] : учеб. пособие / В. А. Колемаев, О. В. Староверов, В. Б. Турундаевский ; под ред. В. А. Колемаева. – М. : Высш. шк., 1991. – 400 с. – ISBN 5-06-001545-9.

12.Колемаев, В. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие [Текст] / В. А. Колемаев, О. В. Староверов, В. Б. Турундаевский ; под общ. ред. В. А. Колемаева. – М. : Высшая школа, 1991. – 399 с.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

151

13.Пугачев, В. С. Теория вероятностей и математическая статистика [Tекст] : учеб. пособие / В. С. Пугачев. – 2-е изд., исправл. и

дополн. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 496 с. – ISBN 5-9221-0254-0.

14.Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / под ред. И. В. Свешникова. – М. : Наука, 1970. – 656 с.

15.Скороход, А. В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів [Tекст] / А. B. Скороход. – Київ : Вища шк., 1975. – 296 с.

16.Чистяков, В. П. Курс теории вероятностей [Текст] / В. П. Чистяков. –

М. : Наука, 1978. – 224 с.

17.Шефтель, З. Г. Теорія ймовірностей [Tекст] / З. Г. Шефтель ; МОН України. – 2-ге вид., перероб. і доповн. – К. : Вища шк., 1994. – 192 с. – ISBN 5-11-004277-3.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

152