РОЗДІЛ ІІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ
2.1. ОДНОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. СПОСОБИ ЗАДАННЯ
2.1.1. ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ
Нехай W = {w} – простір елементарних подій. Випадковою величиною Х називається функція X (w) , визначена на множині W, приймає числові значення і така, що для будь-якого дійсного х визначена ймовірність P( X < x) = P{w : X (w) < x}. Ця ймовірність P( X < x) = F ( x) називається функцією розподілу випадкової величини Х.
Властивості функції розподілу:
1.0 £ F (x) £ 1.
2.F ( x1 ) £ F ( x2 ) , якщо x1 < x2 .
3. |
F (-¥) = 0, F (+¥) = 1. |
4. |
P(a £ X £ b) = F (b) - F (a). |
Випадкова величина називається дискретною, якщо множина її значень скінченна або злічена, тобто множина її значень представляє собою скінченну послідовність x1 , x2 ,..., xn або нескінченну послідов-
ність x1, x2 ,..., xn ,...
Відповідність між можливими значеннями x1 , x2 ,..., xn випадкової величини Х і їх ймовірностямиp1 , p2 ,..., pn називається законом розподілу випадкової величини Х.
|
X |
|
x1 |
x2 ... |
xn ... |
å pk =1. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
, |
(2.1) |
|
|
P |
|
p |
p ... |
p |
... |
|||
|
|||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
k |
|
|
За рядом розподілу(2.1) можна побудувати функцію розподілу |
|||||||||
дискретної випадкової величини Х: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F (x) = å pk , |
|
(2.2) |
|||
|
|
|
|
|
xk <x |
|
|
||
де підсумування поширюється на ті індекси k, для яких xk |
< X . |
||||||||
Графічне зображення ряду розподілу називається многокутником розподілу. Для його побудови в прямокутній системі координат -бу дують точки ( x1 , p1 ), ( x2 , p2 ) ... і з’єднують їх відрізками прямих.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
32
Приклад 2.1. Побудувати ряд розподілу і функцію розподілу числа влучень м’ячем у корзину при двох кидках, якщо ймовірність влучення дорівнює 0,4.
Розв’язання
1)випадкова величина Х – число влучень у корзину при двох кидках– може приймати такі значення x1 = 0, x2 = 1, x3= 2. Знайдемо ймовірності можливих значень Х:
p = 0,4; q =1 - p =1 - 0,4 = 0,6.
P (0) = C 0 p0q2 |
= |
1×2 |
×0,40 ×0,62 |
= 0,36; |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
2 |
|
1×2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P (1) = C1 p1q1 = |
1×2 |
×0,4 ×0,6 = 0,48; |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
2 |
1×1 |
|
|
|
||||||
P (2) = C 2 p 2 q 0 |
= |
1× 2 |
× 0,42 × 0,60 |
= 0,16. |
|||||||||
|
|||||||||||||
2 |
|
2 |
|
1× 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ряд розподілу |
X |
|
0 |
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 0,36 0, 48 0,16
Контроль 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1; 2) якщо:
x £ 0 , то F (x) = 0;
0 < x £ 1, то F (x) = 0,36;
0 < x £ 2 , то F (x) = 0,36 + 0,48 = 0,84; x > 2 , то F (x) = 0,36 + 0,48 + 0,16 =1.
ì0, |
x £ 0, |
ï |
0 < x £1, |
ï0,36, |
|
F (x) = í |
1 < x < 2, |
ï0,84, |
|
ï |
x ³ 2. |
î1, |
F (x)
1
0,84
0,36
0 |
1 |
2 |
x |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
33
Закони розподілу: |
|
|
|
|
|
||
а) біномний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
pn (0) |
pn (1) |
pn (2) |
… |
pn (k) |
… |
pn (n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
pn (k) = Cnk pk qn-k , |
q =1 - p |
(k = 0, 1, ..., n); |
|
|
||||||
б) Пуассона |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
|
0 |
1 |
|
2 |
… |
k |
… |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p0 |
p1 |
|
p2 |
… |
pk |
… |
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
де |
pn = |
|
e -l , |
l > 0 |
|
(n = 0, 1, ..., n). |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1.2. НЕПЕРЕРВНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. ЩІЛЬНІСТЬ РОЗПОДІЛУ. ОСНОВНІ ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ
Випадкову величину Х називають неперервною, якщо її функцію розподілу можна подати у такому вигляді:
|
|
|
x |
|
|
|
F (x) = ò f (t)dt, |
(2.3) |
|
|
|
|
-¥ |
|
де |
f (x) – деяка функція, яку називають щільністю розподілу ймовір- |
|||
|
|
ностей. Властивості щільності розподілу: |
||
1. |
f (x) ³ 0. |
|
|
|
|
¥ |
b |
|
|
2. |
ò f ( x)dx = 1, зокрема ò f (x)dx = 1. |
|
||
|
-¥ |
a |
|
|
3. f (x) = F' (x). |
|
|
||
|
|
b |
|
|
4. P(a < X < b) = ò f (x)dx. |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
Неперервна випадкова величина може бути задана або функцією |
|||
розподілу F (x) , або щільністю ймовірностей f (x) . |
||||
|
Приклад 2.2. Випадкова величина Х задана функцією розподілу: |
|||
|
|
ì0, |
якщо |
x < 2, |
|
|
ï |
якщо |
2 £ x < 3, |
|
|
F (x) = ía(x - 2) 2 , |
||
|
|
ï1, |
якщо |
x > 3. |
|
|
î |
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
34
Знайти:
1)коефіцієнт а;
2)щільність ймовірностей f (x);
3)ймовірність попадання величини Х в інтервал (2,5; 3,5).
Розв’язання
|
ì0, |
|
|
x < 2, |
||||||
|
ï |
|
|
|
2 £ x < 3, |
|||||
f (x) = F ' (x) = í2a(x - 2), |
||||||||||
|
ï |
|
|
|
x ³ 3. |
|||||
|
î0, |
|
3 |
|||||||
Враховуючи вигляд f(x), дістанемо ò2a( x - 2)dx = 1. Звідси: |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
(x - |
2) 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
ò 2a(x - 2)dx = 2a |
|
|
|
|
= |
|||||
2 |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
- 2) |
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|||||||||
= a (x - 2)= |
|
a ((3 |
|
- (2 - 2)=) =a 1; |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отже, |
|
a =1. |
|
|
|
|
|
|||
ì0, |
|
|
x < 2, |
|||||||
|
|
|
||||||||
|
ï |
- 2), |
2 £ x < 3, |
|||||||
f (x) = í2(x |
||||||||||
|
ï |
|
|
x ³ 3. |
||||||
|
î0, |
|
|
|||||||
|
P(2,5 < X < 3,5) =F (3,5) - F (2,5)= |
1 - (2,5 - 2)2 =1 - 0, 25 = 0,75. |
|||||||
|
Приклад 2.3. Випадкова величина Х має щільність розподілу: |
||||||||
|
ì0, |
|
|
при |
x £ 1, |
|
|||
|
ï |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = íx - |
|
, |
при |
1 < x £ 2, |
||||
|
2 |
||||||||
|
ï |
|
при |
x > 2. |
|
||||
|
ï0, |
|
|
|
|||||
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Побудувати функцію F (x) розподілу і накреслити її графік. |
||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Розв’язання. Відомо, що F ( x) = ò f (t)dt . Знайдемо значення цієї |
||||||||
|
|
|
|
-¥ |
|
|
|
|
|
функції на кожному інтервалі окремо: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1. |
При x £ 1; f (x) = 0; F (x) = ò0dt = 0. |
|
|
|
|
||||
2. |
При 1 < x £ 2 |
|
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
1 |
|
x |
æ |
|
1 |
ö |
|
F ( x) = ò f (t)dt = ò 0dt + ò |
çt |
- |
|
÷dt = |
||||
|
2 |
||||||||
|
-¥ |
|
-¥ |
1 |
è |
|
ø |
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
35
|
æ t 2 |
|
|
t=ö |
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
1 |
|
||
= |
- |
1 |
|
- |
1 |
x - |
1 |
+ |
1 |
= |
- |
x. |
|||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 2 |
÷ |
|
|
2 2 |
2 2 2 2 |
|
||||||||||||
|
è |
ø |
|
1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. При x > 2
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 æ |
|
|
1 |
ö |
|
||||
F ( x) = ò f (t)dt = ò 0dt + òçt - |
|
÷dt + |
||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||
-¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
-¥ |
|
|
1 è |
|
|
ø |
|
||||||
3 |
æ t 2 |
|
|
1 |
|
|
ö |
|
2 |
|
4 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+ ò0dt = |
ç |
|
|
|
|
|
|
t |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
= -1 - + = 1. |
||||||||||||||
ç |
|
2 |
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
è 2 |
|
|
|
|
ø |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отже, |
|
|
ì0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x £1, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ïx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
F (x) = í |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
x, 1 < x £ 2, |
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
x > 2. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
ï1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Побудуємо графік F (x) :
F (x)
1
0 |
1 |
х |
Закони розподілу: a) рівномірний
ì |
|
1 |
, |
x Î(a, b) |
ï |
|
|
||
|
- a |
|||
f (x) = íb |
|
|
||
ï |
|
|
|
x Ï(a,b) |
î0, |
|
|
||
y
1
b - a
f (x)
0 |
a |
b |
x |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
36