y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а – в |
|
|
|
D1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
а – 3в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
в |
|
а – 3в |
а – в а |
|
х |
|
|
|
|
||||||
Рис. 1.1. Геометричне зображення |
|
|
|
|
|
||||||||||||
простору W(D) і події A(D1) до прикладу 1.8 |
|
||||||||||||||||
Площа області D : S = |
1 |
a2; |
площа області D : S = |
1 |
(a - 3b)2 . |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
(a - 3b)2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
Шукана ймовірність P = |
S |
1 |
; P = |
|
|
æ |
|
3b |
ö |
||||||||
|
|
|
= |
ç1 |
- |
|
|
÷ |
. З остан- |
||||||||
|
|
a 2 |
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
è |
|
ø |
|
||||||
ньої формули видно, що чим менший статутний фонда, тим менша ймовірність того, що нові банки не припинять свого існування.
При a =100 000 грош. од., b =100 000 грош. од. маємо
P =(1-3×0,1)2 =0,49.
Питання для самоконтролю
1.Дати означення класичної ймовірності (навести приклади).
2.Сформулювати властивості ймовірності.
3.Дати означення статистичної ймовірності (навести приклади).
4.Дати означення геометричної ймовірності (навести приклади).
Вправи
1.В урні 100 куль, позначених номерами 1, 2, 3, …, 100. Із урни навмання вийнято одну кулю. Яка ймовірність того, що номер вийнятої кулі: а) містить цифру 5; б) є однозначним?
2. В одній урні знаходяться кулі з номерами1, 2, 3, 4, 5, а в другій – з номерами 6, 7, 8, 9, 10. З кожної урни вийнято по одній кулі. Яка ймовірність того, що сума номерів вийнятих куль:
а) дорівнює 11; б) не менша 7?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
15
3.З букв розрізної абетки складено слово“функція”. Букви розсипали, а потім склали в довільному порядку. Яка ймовірність того, що знову отримали слово “функція”?
4.При наборі телефонного номера абонент забув дві останні цифри і набрав їх навмання, пам’ятаючи тільки, що ці цифри непарні та різні. Знайти ймовірність того, що номер набраний правильно.
5.Президент фірми хоче створити команду дизайнерів для розробки нової моделі товару у складі трьох інженерів і двох спеціалістів з дослідження ринку. Яка ймовірність, що група такого складу буде створена, якщо з групи 10 інженерів і 5 спеціалістів з проблем ринку потрібно вибрати п’ять осіб?
6.Знайти ймовірність того, що навмання вибране з чисел від9 до 100 ділиться на 4.
7.Замок містить 4 диски, на кожному з яких10 цифр. Замок відімкнеться, якщо правильно набрано код із чотирьох цифр. Яка ймовірність того, що замок відімкнуть з першої спроби?
8.У пачці є100 лотерейних білетів, один з яких виграшний. Яка ймовірність виграти, якщо купили 10 білетів?
9.До білета іспиту входять4 питання із 45, що містить програма. Студент вивчив 30 питань. Яка ймовірність того, що він буде знатиме всі 4 питання з навмання взятого білета?
10.Слово “інтеграл” складається з букв розрізної азбуки. Навмання, одна за одною, дістали 3 картки і розклали в ряд у порядку появи. Яка ймовірність того, що:
а) вийшло слово “гра”; б) з відібраних карток можна скласти слова “гра”?
11.З 10 книг, що стоять на книжковій полиці, – 3 книги із статистики. Знайти ймовірність того, що вони стоять поруч.
12.На книжковій полиці випадковим чином розставляють4 книги з економіки і три книги з географії. Яка ймовірність того, що книги з одного предмета стоятимуть поруч?
13.На книжковій полиці розставили6 томів енциклопедії. Яка ймовірність того, що:
а) томи 1 і 2 розміщено поруч; б) томи 3 і 4 не поставлено поруч?
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
16
14.Статутний фонд банку в а грош. од. був випадковим чином поділений на три частини, в результаті чого створено три нові банки. Знайти ймовірність того, що жоден із банків не припинить свого існування, якщо для роботи банку необхідний статутний
æ |
|
|
a ö |
|
||
фонд не менше, ніж в b грош. од. ç |
0 |
< b < |
|
÷ |
. Обчислити Р при |
|
3 |
||||||
è |
|
|
ø |
|
||
a =5 000 000 грош. од.; b = 500 000 грош. од.
15.При стрілянні з гвинтівки відносна частота попадання в ціль виявилась 0,85. Знайти число влучень, якщо було зроблено 120 пострілів?
16.У прямокутному трикутнику з катетами довжиною 3 і 4 м навмання вибрали точку. Яка ймовірність того, що вона потрапить у круг, вписаний у трикутник?
17.У круг вписано квадрат. Яка ймовірність того, що навмання вибрана точка круга потрапить у квадрат?
18.Знайти ймовірність того, що навмання вибрана точка правильного трикутника потрапляє в коло, вписане в цей трикутник?
19.Яка ймовірність, що навмання вибрана точка правильного трикутника потрапить у вписаний у трикутник квадрат?
1.3.ТЕОРЕМИ ДОДАВАННЯ І МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ.
УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ
Теорема додавання. Ймовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:
P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB). |
(1.6) |
Якщо події А і В несумісні (тобто в результаті досліду вони не |
|
можуть з’явитись разом), то |
|
P( A + B) = P( A) + P(B). |
(1.7) |
При рішенні |
задач часто обчислюють |
ймовірність |
протилежної |
|||||
події |
|
, а потім знаходять ймовірність прямої події А за формулою |
||||||
A |
||||||||
|
|
|
P( A) = 1 - P( |
|
). |
|
|
(1.8) |
|
|
|
A |
|
|
|||
Приклад 1.9. |
Знайти ймовірність |
того, що |
при |
підкиданні |
||||
2 гральних кубиків хоча б один раз випаде 6 очок. |
|
|
||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
17
Розв’язання. А – поява 6 очок при підкиданні першого грального кубика, В – поява 6 очок при підкиданні другого грального кубика. Оскільки події А і В сумісні, то
P( A + B) = P( A) + P(B) - P( AB).
P( A) = P(B) = 1 ; P( AB) = 1 ;
|
|
6 |
|
|
|
36 |
||
P( A + B) = |
1 |
+ |
1 |
- |
1 |
= |
11 |
. |
|
|
|
|
|||||
6 |
6 |
36 |
36 |
|
||||
Умовною ймовірністю події А за умови, що відбулася подія В, називається величина
P ( A) = |
P( AB) |
, P(B) > 0. |
(1.9) |
B P(B)
Умовна ймовірність PB ( A) має всі властивості безумовної ймовірності.
Приклад 1.10. У кошику 5 червоних і 7 зелених м’ячів. Із нього послідовно беруть два м’ячі. Знайти ймовірність того, що другий м’яч буде зеленим за умови, що перший м’яч був зеленим.
Розв’язання
І спосіб. Позначимо: А – перший м’яч зелений; В – другий м’яч зелений. Якщо відбулась подія А, то в кошику залишилось11 м’ячів,
серед яких 6 зелених. Тому шукана ймовірність PA (B) = 6 . 11
ІІ спосіб. Оскільки серед 12 м’ячів, що лежать у кошику, 7 зелених,
то P( A) = 7 . Для знаходження P( AB) обчислимо п – загальну кіль-
12
кість наслідків (сумісної появи двох м’ячів будь-якого кольору) за
формулою n = A2 |
= 12 ×11 = 132 . |
Із цього числа події АВ сприяють |
||||||||||||||||||
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
7 |
|
|
|||
m = A2 |
= 7 ×6 = |
42 |
наслідки. Тому |
|
P( AB) = |
= |
. |
За формулою |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132 |
22 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
P (B) = |
P( AB) |
маємо P (B) = |
7 |
|
: |
7 |
= |
12 |
= |
6 |
, тобто |
одержали той |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A |
|
P( A) |
|
A |
22 |
|
12 |
22 11 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
же результат.
Випадкові події А і В називаються незалежними, якщо |
|
P( AB) = P( A) × P(B). |
(1.10) |
Для незалежних подій PB ( A) = P( A), PA (B) = P(B) , тобто настання однієї з двох незалежних подій не впливає на ймовірність іншої.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
18
Події A1 , A2 ,..., An називаються незалежними в сукупності, якщо
для будь-яких k із них (k £ n) виконується співвідношення |
|
P( A1 × A2 ×...An ) = P( A1 ) × P( A2 ) ×...× P( An ). |
(1.11) |
Якщо це співвідношення виконується при k = 2 , то події A1, A2 , ...,
..., An називаються попарно незалежними.
Теорема множення. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює ймовірності однієї з них, помноженій на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша подія настала:
P( AB) = P( A) × PA (B). |
(1.12) |
Якщо події А і В незалежні (тобто поява однієї з них не змінює ймовірність появи іншої), то P( AB) = P( A) × P(B).
Для знаходження ймовірності суми незалежних подій A1 , A2 ,..., An доцільно переходити до протилежних подій
P(A1 U A2 U U An )=1 - P( |
|
1 ) × P( |
|
2 ) × × P( |
|
n ) |
(1.13) |
A |
A |
A |
або P( A) = 1 - q1 × q2 ×... × qn – ймовірність настання принаймні однієї з
подій Ai (i =1, n).
Приклад 1.11. Студент прийшов на екзамен, підготувавши лише 40 із 75 питань. Екзаменатор поставив йому три питання. Яка ймовірність, що студент знає відповіді на всі ці питання?
Розв’язання. А – студент знає відповіді на всі три питання; подія
Ai (i = 1, 2, 3) |
студент знає відповідь наі-те питання. |
Тоді A = A1 A2 A3 , |
||||||||||||||
події A1 , A2 , A3 |
– залежні, |
тому |
P( A) = P( A1 ) × PA |
( A2 ) × PA A |
( A3 ) , |
|||||||||||
|
40 |
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
38 |
1 |
1 |
2 |
P( A ) = |
, |
P |
A |
( A |
2 |
) = |
, |
P |
|
( A ) = |
(оскільки питань залиша- |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
75 |
|
|
|
74 |
|
A A |
3 |
73 |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
лось 73, а з них студент знає 38). Маємо P( A) = 40 × 39 × 38 = 0,146. 75 74 73
Приклад 1.12. В об’єднання входять три підприємства. Ймовірність виконати план для першого підприємства дорівнює0,8, для другого – 0,9, для третього – 0,85. Знайти ймовірність таких подій:
1)А – договір виконає лише одне підприємство;
2)В – договір виконають 2 підприємства;
3)С – договір виконають всі підприємства;
4)Д – договір не виконає жодне підприємство;
5)Е – договір виконає принаймні одне підприємство.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
19