14.Слово “інтеграл” складається з букв розрізної азбуки. Картки перемішали і навмання, одна за одною, дістали 5 карток. Яка ймовірність того, що вийшло слово “грант”?

15.Завідуючий рекламним відділом журналу оцінює ймовірність того, що передплатник журналу прочитає деяку рекламу, як 0,4, а ймовірність того, що він купить рекламований товар, як 0,01. За цими прогнозами знайти ймовірність того, що передплатник за рекламним повідомленням придбає товар.

1.4.ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА

Якщо подія А може настати тільки з однією з подійH1, H2 , ..., K Hn , які утворюють повну групу попарно несумісних подій, то ймовірність події А обчислюється за формулою повної ймовірності

i =1

де P(Hi ) – ймовірність гіпотези H i ;

n

PHi ( A) – умовна ймовірність події А при цій гіпотезі, åP(Hi ) =1.

i=1

З формулою повної ймовірності тісно пов’язана формула Байєса.

n

де P( A) = å P(H i )PHi ( A) .

i =1

Формула Байєса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез, прийнятих до випробування за результатами уже проведеного випробування.

Приклад 1.13. Вивчаються результати екзамену з математики у трьох групах. У першій групі 25 студентів, з них 7 отримали “відмінно”, у другій – 26 студентів, з них 9 отримали “відмінно”, а в третій відповідно – 24 і 10. Яка ймовірність, що навмання вибраний студент отримав на екзамені відмінну оцінку?

Розв’язання. Нехай А – навмання вибраний студент на екзамені з математики отримав відмінну оцінку. Це може статися, коли студента вибрано з 1-ї групи (відбулась подія H1 ), або з 2-ї групи ( H 2 ), або з

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

22

Використаємо формулу повної ймовірності

Приклад 1.14. Перша бригада виготовила80 виробів, друга – 120. У першій бригаді 2 % виробів браковані, а в другій – 5 %. Деталі надходять на спільний конвеєр. Навмання узятий з конвеєра виріб виявився бракованим. Яка ймовірність, що він виготовлений першою бригадою?

Розв’язання. Позначимо події Hi (i = 1, 2) – вибраний виріб виготовлений і-ю бригадою,

А – вибраний виріб бракований

Питання для самоконтролю

1.Записати формулу повної ймовірності.

2.Записати формулу Байєса. Для чого служить ця формула?

Вправи

1.Є дві партії виробів з12 і 10 штук, причому в кожній партії один виріб бракований. Виріб, узятий навмання з першої партії, перекладено в другу, після чого вибирається навмання виріб із другої партії. Визначити ймовірність дістати бракований виріб з другої партії.

2.У кошик, що містить 3 кулі, опущена чорна куля. Яка ймовірність того, що з кошика буде витягнута чорна куля, якщо всі припущення про початковий склад куль за кольором рівноможливі?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

23

3.З партії, що складається з4 виробів, навмання взяли один виріб, який виявився небракованим. Кількість бракованих виробів рівноможлива будь-яка. Яка гіпотеза про кількість бракованих виробів найбільш вірогідна?

4.Перший і другий заводи поставляють порівну однакових деталей, але перший виробляє 90 % стандартних деталей, а другий – 85 %. Навмання взята деталь стандартна. Яка ймовірність, що вона виготовлена першим заводом?

5.З урни, яка містить 3 білі та чорні кульки, перекладено дві кульки до урни, яка містить 4 білі та 4 чорні кульки. Яка ймовірність того, що з другої урни після такого перекладення буде взято білу кульку?

6.У двох корзинах баскетбольні та волейбольні м’,ячіпричому у першій – 8 баскетбольних і 2 волейбольні, у другій – 6 баскетболь-

них і 3 волейбольні. З навмання вибраної корзини взяли м’яч. Яка ймовірність того, що:

а) взяли волейбольний м’яч; б) м’яч, який виявився баскетбольним, взяли з першої корзини?

7.Два стрільці незалежно один від одного роблять по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення першого – 0,8, другого – 0,4. Відомо, що є одне влучення. Знайти ймовірність того, що в мішень влучив перший стрілець.

8.Серед n екзаменаційних білетів m “щасливих”. Студенти підходять за білетами один за одним. У кого більша ймовірність взяти“щасливий” білет: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим?

9.У першому ящику десять стандартних і дві браковані деталі, у другому відповідно – 12 і 3, у третьому – 14 і 1. З навмання вибраного ящика взяли деталь. Яка ймовірність того, що:

а) взяли стандартну деталь; б) деталь, яка виявилось бракованою, взяли з 3-го ящика?

10. Є дві партії виробів: перша партія складається з 12 виробів, серед яких 2 браковані; друга – з 16 виробів, серед яких 3 браковані. З першої партії навмання береться 5 виробів, а з другої – 4 вироби.

Ці 9 виробів перемішують. З нової партії береться навмання один виріб. Знайти ймовірність того, що:

а) виріб є дефектним; б) виріб, який виявися якісним, був з першої партії.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

24