ВСТУП

Практикум укладено відповідно до програми з курсу“Вища математика для економістів”.

Дане видання ставить за мету допомогти студентам самостійно оволодіти методами розв’язання задач з курсу“Теорія ймовірностей і математична статистика”.

Це визначило структуру посібника.

У кожному розділі (підрозділі) наведені короткі теоретичні відомості і формули, необхідні для рішення задач, дані зразки розв’язання задач, що сприяє глибокому засвоєнню теоретичного матеріалу. Після кожного підрозділу даються завдання для самоконтролю у вигляді питань, а також вправ для самостійного розв’язання.

Завдання для самостійної роботи слід виконувати після опрацювання теоретичного матеріалу і розгляду зразків розв’язування прикладів.

Завершується книга довідковим матеріалом для розв’язання практичних задач – статистичними таблицями.

Написання матеріалу між авторами розподіляється так: розділи І, ІІ – Т.І. Малютіна, розділ ІІІ – К.А. Дахер.

Книга орієнтована на студентів економічних спеціальностей.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

6

Розділ І ВИПАДКОВІ ПОДІЇ

1.1. ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ. КОМБІНАТОРИКА

1.1.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. ОПЕРАЦІЇ НАД ПОДІЯМИ

У теорії ймовірностей розглядаються випадкові експерименти– ті експерименти, результат яких не можна напевно передбачити. Такі експерименти називатимемо випробуваннями.

Найпростіший результат випробування називається елементарною подією і позначається w . Сукупність усіх можливих елементарних подій випробування називається простором елементарних подій і позначається Ω.

Будь-яка підмножина А простору елементарних подій називається випадковою подією (рис. 1а). Елементарні події, що входять в А, називаються сприятливими для А. Сама множина Ω називається достовірною подією, порожня множина Ø – неможливою подією.

Сумою подій А і В називається подія А + В (А ÈВ), яка складається з елементарних подій, що належать хоч б одній із подійА або В (рис. 1б).

Добутком АВ (А∩В) називається подія, яка складається з елементарних подій, що належать одночасно А і В (рис. 1в).

Різницею А-В подій А і В називається подія, яка складається з тих елементарних подій, що входять в А і не входять у В (рис. 1г).

Подія A називається протилежною подіїА, якщо AA = Ø і

A + A = W (рис. 1д).

Події A1 , A2 ,..., An утворюють повну групу подій, якщо Ai Aj = Ø (i ¹ j) і A1 + A2 + ... + An = W (рис. 1е).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

7

Приклад 1.1. В урні лежать 4 кулі, занумеровані цифрами 1, 2, 3, 4. Витягують по одній дві кулі:

а) описати простір елементарних подій; б) записати елементарні події, сприятливі для подіїА, яка полягає в

тому, що витягнуто дві кулі з парними номерами.

Розв’язання

а) простір елементарних подій:

W = {12, 13, 14, 23, 24, 34, 21, 31, 41, 32, 42, 43};

б) подія A = { 24, 42}.

Питання для самоконтролю

1.Що розуміють під випробуванням, подією?

2.Дати означення простору елементарних подій, випадкової події.

3.Що називається сумою подій, добутком подій, різницею подій?

4.Які події називаються несумісними?

5.Дати означення повної групи несумісних подій.

6.Які події називаються рівноможливими?

Вправи

1.Монету підкидають три рази підряд. Під наслідком випробування будемо розуміти послідовність (X 1, X 2 , X 3 ), де кожний із X i означає випадання “герба” (Г) або “цифри” (Ц):

а) побудувати простір Ω елементарних подій; б) описати подію А, яка полягає в тому, що випало не менше двох

“гербів”.

2.Нехай А, В, С – три довільні події. Знайти вирази для подій, які полягають в тому, що із А, В, С:

а) відбулась тільки А; б) відбулися А і В, але С не відбулась;

в) всі три події відбулися; г) відбулося дві і тільки дві події; ґ) жодна подія не відбулася;

д) відбулося не більше двох подій.

Яка з подій Ві (і = 1, 2, 3, 4) утворює з подією A повну групу?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

8