Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Украинская академия банковского дела Национального банка Украины

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Частина 4 практикум.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

2.2.ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

1.Математичне сподівання M ( X )

Середнім значенням, або математичним сподіванням M ( X ) випадкової величини Х називають

¥
M ( X ) = åxi pi –	(2.4)
i=1
для дискретної випадкової величини,
+¥
M ( X ) = ò xf (x)dx –	(2.5)
-¥

для неперервної випадкової величини, причому припускається, що ряд

іінтеграл збігаються абсолютно.

Уцих формулах xi – значення випадкової величини, pi – їх ймовірності, f (x) - щільність ймовірності.

Властивості математичного сподівання:

1.M (C) = C, де C = const.

2.M (CX ) = CM ( X ), C = const.

3. M ( X ± Y ) = M ( X ) ± M (Y ), де X і Y - будь-які випадкові величини.

4.M ( XY ) = M ( X ) × M (Y ), якщо X і Y - незалежні випадкові величини.

2.Дисперсія D( X ) та середнє квадратичне відхилення s ( X )

Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата різниці випадкової величини та її математичного сподівання:

¥
D( X ) = M ( X - M ( X ))=2 å(xi - M ( X ))2 pi –	(2.6)
i=1
для дискретної випадкової величини і
¥
D( X ) = ò (x - M ( X ))2 f (x)dx –	(2.7)
-¥
для неперервної випадкової величини.
Для обчислення D( X ) застосовують формулу
D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) .	(2.8)

Властивості дисперсії:

1.D(C) = 0, де C = const.

2.D(CX ) = C 2 D( X ), C = const.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

3. Якщо X і Y - незалежні випадкові величини, то

D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ).

Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини:

s ( X ) = D( X ).

(2.9)

Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіювання значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.

3. Початкові n k та центральні моменти mk

Початкові та центральні моменти k -го порядку випадкової величини Х визначаються за формулами:

					nk = M ( X k ),						(2.10)
		mk			= M ( X - M ( X ))k .						(2.11)
Центральні моменти виражаються через початкові моменти за
формулами:
m1 = 0;
m2		=n2 -n12 ;						+ 2n 3 ;
m	3	=n	3		- 3n n	2		+ 2n 3 ;
	3		3		1	2		1
m	4	=n		4	- 4n n		3	+ 6n 2n	2	-	3n 4 .
	4			4	1		3	1	2		1

Центральні моменти характеризують розсіювання випадкової величини.

Асиметрія

(2.12)

s 3

де

s =

D( X )

Якщо розподіл симетричний відносно математичного сподівання,

то AS = 0 .

Якщо AS

> 0 , то крива щільності ймовірності має “скіс” з лівої сто-

рони, якщо AS

< 0 , то – з правої сторони.

Ексцесом випадкової величини Х називається величина

Ek =

- 3,

(2.13)

s 4

= 0 (для нормального розподілу).

Величина

Ek характеризує “крутизну” кривої щільності ймовір-

ності в

порівнянні

кривою

Гаусса. Для гостровершинних

кривих

> 0 , для пологих –

< 0.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

4. Мода mo і медіана me

Модою дискретної випадкової величини називається її найбільш ймовірне значення.

Модою неперервної випадкової величини називаєтьсяm0 її значення, при якому щільність ймовірності максимальна.

Медіаною me дискретної випадкової величини Х називаєтьсяme її значення в законі розподілу, для якого сума ймовірностей можливих значень зліва і справа від нього не перевищує 0,5.

Медіаною неперервної випадкової величини Х називається таке її значення me , для якого

		P(X < m )= P X(		> m )=		1	.	(2.14)
		P(X < m )= P X(		> m )=			.	(2.14)
			e		e	2
						2
Приклад 2.4. Дана дискретна випадкова величина

Х	1		2			3		4

Р	1		1			1		3
	16		4			2		16

Знайти: M ( X ), D( X ), s ( X ), m0.

Розв’язання

Математичне сподівання

				4													1									1								1								3=
M ( X ) = =x p 1×																	1		+ 2 ×							1		+ 3 ×						1		+ 4 ×
M ( X ) = =x p 1×																			+ 2 ×									+ 3 ×								+ 4 ×
			å i						i							16								4								2								16
			i=1													16								4								2								16
=				1		+			1	+				3	+			12			= 2						13						=		45			.
=						+			2	+				2	+						= 2												=					.
			16						2					2		16								16								16
Дисперсію знайдемо за формулою
			D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X );
2				1							2			1		2							1							2		3					æ			45 ö2
D( X ) =1			×					+ 2				×				+ 3 ×									+				4		×						- ç			=			÷
D( X ) =1			×	16				+ 2				×		4		+ 3 ×							2		+				4		×	16					- ç			=			÷
				16										4									2									16					è			16 ø
=	1	+1 +			9		+ 3 -						2025							=		137							-		2025								=		167			.
=		+1 +					+ 3 -													=									-										=					.
16				2										256									16								256									256
Середнє квадратичне відхилення

		s ( X ) =																						167						» 0,8.
												D( X =)												167
												D( X =)
																								256
Мода m0 = 3.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

Приклад 2.5. Щільність розподілу випадкової величиниХ до-

рівнює
ì			p
ï0,5 cos x	при	\| x \| £			,
ï0,5 cos x	при	\| x \| £	2		,
ï			2
f (x) = í			p
ï0	при	\| x \| >	p	.
ï0	при	\| x \| >		.
ï			2
î			2

Знайти математичне сподівання, дисперсію, медіану і моду Х.

Розв’язання

+¥

M ( X ) = ò xf (x)dx.

-¥

У нашому випадку

ìu = x

du = dx ü

M ( X ) = ò

0,5x cos xdx = 0,5í

= cos xdx

îdv

v = sin xþ

æp

= 0,5ç x sin x

òsin xdx ÷

+ cos x

-p

= 0,5ç

sin

-2p = 0.

Дисперсія D( X ) = ò x2 f (x)dx - M 2 ( X ).

-¥

У нашому випадку

= x

D( X ) = 0,5 ò

ïu

du = 2xdxï

x 2 × cos xdx = 0,5í

= cos xdx

v = sin x

ïdv

-2p

= 0,5ç x 2 sin x

- 2 ò x sin xdx÷ =

æ p 2

p 2

p ö

ì u= x =

du dx ü

= 0,5

sin

- í

2 4

îdv = sin=

xdx

-cos xþ

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

- ç- x cos x

+ òcos xdx÷ =

- sin x

- 2.

Середнє квадратичне відхилення s ( X ) =

D( X=)

- 2 .

Дослідимо функцію

f (x) на екстремум.

= -0,5 sin x;

-0,5sin= =x

0 - критична точка.

f (x)

При -

£ x

< 0,

0 < x £

f '(x) < 0 .

f (x) > 0 , при

Отже,

x = 0 точка максимуму,

= 0.

Медіану знайдемо з умови

P (X < m ) = P

(X > m ) =

;

P (X < me )

P ç-

X < me ÷

ò 0,5cos= xdx

+0,5sin=

= 0,5(sin me + 1)= 0,5 sin me

+ 0,5 = 0,5;

0,5sin me

= 0 ,

me = 0.

Приклад 2.6. Дано розподіл випадкової величини

0,4

0,3

0,2

0,1

Знайти початкові і центральні моменти перших трьох порядків. Початкові моменти:

		n1 = M (=X )					2 ×0,4 + 4 ×0,3 + 6 ×0,2 + 8 ×0,1 =
					= 0,8 +1,2 +1,2 + 0,8 = 4;
n2 = M (=X 2 )							22 ×0, 4 + 42 × 0,3 + 62 ×0, 2 + 82 ×0,1=
				= 1,6 + 4,8 + 7,2 + 6,4 = 20;
n3 = M (=X 3 )							23 ×0, 4 + 43 ×0,3 + 63 ×0, 2 + 83 ×0,1 =
				= 3,2 +19,2 + 43,2 + 51,2 = 116,8.
Центральні моменти:
				m1 = 0; m2 =n 2 -n12 = 20 - 42 = 4;
m	3	=n	3	- 3n n		2	+ 2n 3 = 116,8 - 3× 4 × 20 + 2 ×	43	= 4,8.
	3		3	1		2	1

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 4913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
05.11.2018451.58 Кб3Цивільне право (3 частина).doc
#
14.11.201946.48 Кб2цивільний процес.docx
#
08.05.2019186.88 Кб1ЦП Курс раб метод2005.doc
#
20.02.2016772.18 Кб19Частина 2.pdf
#
20.02.2016976.3 Кб139Частина 3 навчальний посібник.pdf
#
20.02.20161.14 Mб79Частина 4 практикум.pdf
#
19.09.20191.94 Mб0Чернадчук Дисс печать+++++.doc
#
18.09.2019303.1 Кб5шпора (общая).doc
#
29.10.20181.05 Mб14ШПОРА мен.doc
#
20.12.2018312.74 Кб4шпора по ЭТиСТО.docx
#
28.10.2018160.64 Кб7ШПОРА.docx