- •ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
- •Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
- •Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
- •ВСТУП
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.1.2. Елементи комбінаторики
- •Таблиця 1.1
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
- •1.5.1. Формула Бернуллі
- •1.5.2. Формула Пуассона
- •1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
- •Таблиця 2.1
- •Числові характеристики деяких розподілів
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.4.1. Лема Чебишова
- •2.4.2. Теорема Чебишова
- •2.4.3. Теорема Бернуллі
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
- •Таблиця 2.2
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 2.5
- •Числові характеристики двовимірної випадкової величини
- •Продовж. табл. 2.5
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
- •Питання для самоконтролю
- •3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
- •Таблиця 3.1
- •Таблиця 3.2
- •Таблиця 3.3
- •Таблиця 3.4
- •Таблиця 3.5
- •Таблиця 3.6
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ
- •Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1
- •Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6
- •3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 3.8
- •Таблиця 3.9
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості
- •3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
- •3.8.1. Надійність. Інтервал довіри
- •3.8.3. Розподіл Стьюдента
- •3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора
- •3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ
- •Таблиця 3.10
- •Таблиця 3.10
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу
- •3.9.4. Метод найменших квадратів
- •Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
- •3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду
- •3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези
- •Питання для самоконтролю
- •Таблиця 3.12
- •Таблиця 3.13
- •Таблиця 3.14
- •Таблиця 3.15
- •3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом
- •3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Додаток А
- •Таблиця значень функції
- •Додаток Б
- •Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток В
- •Додаток Г
- •Додаток Д
- •Критичні точки розподілу F Фішера-Снедекора
- •Додаток Е
- •Таблиця значень
- •Додаток Ж
- •Значення
3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
3.10.1. СТАТИСТИЧНІ ГІПОТЕЗИ. ПОМИЛКИ ПЕРШОГО ТА ДРУГОГО РОДУ
Дані вибіркових спостережень часто є підставою для прийняття одного з кількох альтернативних рішень(продукція може бути якісною або бракованою, точність обробки виробу в межах норми або нижча від норми тощо). Тобто йдеться про висунення деякої гіпотези, яку після проведення експерименту або приймають, або відхиляють. Якщо експеримент має статистичний(стохастичний) характер, то говорять, що гіпотеза є статистичною.
Статистичною називають гіпотезу про властивості генеральної сукупності, що перевіряється на основі вибірки.
Статистичними гіпотезами можуть бути такі твердження про закон розподілу, про значення параметрів розподілу, про рівність параметрів двох або декількох розподілів, про незалежність вибірок та ін.
Наприклад, статистичними є такі гіпотези:
а) генеральна сукупність розподілена за законом Пуассона; б) дисперсії двох нормальних сукупностей рівні між собою.
У математичній статистиці виділяютьдва основні типи статис-
тичних гіпотез:
1)непараметричні – гіпотези про закон розподілу ймовірностей випадкової величини (ознаки генеральної сукупності);
2)параметричні – гіпотези про значення параметрів розподілу випадкової величини (ознаки генеральної сукупності).
Поряд із висунутою гіпотезою розглядають і гіпотезу, що їй суперечить. Якщо висунута гіпотеза буде відхилена, то має місце гіпотеза, що їй суперечить. Тому ці гіпотези слід розрізняти.
Основною (нульовою) називають висунуту гіпотезу, її позначають H0.
Альтернативною (конкуруючою) називають гіпотезу, яка повністю або частково логічно заперечує нульову гіпотезу, її позначають H1.
Наприклад, якщо основною гіпотезою H0 є гіпотеза про значення одного з параметрів нормально розподіленої випадкової величини– H0 : a = 25, тоді альтернативною є гіпотеза H1 : a ¹ 25.
Простою параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка стверджує, що всі невідомі параметри мають деякі числові значення.
Складеною параметричною гіпотезою називають гіпотезу, яка складається із скінченного або нескінченного числа простих параметричних гіпотез.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
133
Наприклад, якщо l – параметр експоненціального розподілу, то гіпотеза H0 : l = 3 є простою, тоді альтернативна гіпотеза H1 : a > 3 є складеною.
Завдання про статистичну перевірку статистичних гіпотез фо-
рмулюється так: розглянути деяку статистичну гіпотезу і на підставі вивчення статистичних даних(вибірки) підтвердити справедливість висунутої гіпотези чи спростувати . їїПри цьому вказується також імовірність того, що прийняте рішення є правильним або помилковим. Проблема зменшення ймовірності того, що прийняте рішення є помилковим, є також одним із завдань математичної статистики.
У результаті статистичної перевірки гіпотез може бути прийняте одне з двох правильних рішень:
1)гіпотеза приймається, і вона істинна;
2)гіпотеза відхиляється, і вона неістинна.
Поряд із цим у результаті статистичної перевірки статистичної гіпотези можуть бути допущені помилки, тобто прийняті неправильні рішення двох видів:
1)помилково відхилена істинна гіпотеза;
2)помилково прийнята неістинна гіпотеза.
Помилкою першого роду називають неправильне рішення, в результаті якого відхиляється правильна гіпотеза.
Помилкою другого роду називають неправильне рішення, в результаті якого приймається неправильна гіпотеза.
Виявляється, що помилка першого роду має більш вагомі наслідки, ніж помилка другого роду. Щоб застрахувати себе від помилки першого роду або принаймні звести до мінімуму ризик її допущення, вводиться число a, яке виражає імовірність відхилення правильної гіпотези.
Рівнем значущості називають імовірність допущення помилки першого роду, його позначають a.
Рівень значущості a задають наперед і найчастіше його вибирають рівним 0,1; 0,05; 0,01. Якщо a = 0,05, то це означає, що ймовірність допустити помилку першого роду є малою: ми ризикуємо припустити її у п’яти випадках зі ста.
Гіпотетичною називають інформацію про випадкову величину, яка міститься в гіпотезі.
Емпіричною називають інформацію про випадкову величину, яку отримують на підставі вибірки.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
134