3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

114

На практиці надійність оцінки задається наперед, принаймні число g вибирають близьким до одиниці: g = 0,95; g = 0,99; g = 0,999.

Наприклад, надійність оцінки g = 0,95 означає, що за достатньо великої кількості вибірок 95 % із них визначають такі інтервали довіри,

Для цього необхідно обчислити ймовірність P{q* -d <q <q* +d}.

Це можна зробити, якщо відомий закон розподілу статистичної оцінки

c 2 = å X i2 i=1

має розподіл c 2 із n ступенями вільності.

Розподіл c 2 “хі-квадрат” залежить від одного параметра n, і при n ® ¥ він наближається до нормального закону.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

115

3.8.3. РОЗПОДІЛ СТЬЮДЕНТА

Припустимо, що Z – нормально розподілена випадкова величина, принаймні її математичне сподівання M (Z ) = 0 і середньоквадратичні

величина:

Z

T =

V / n

має розподіл Стьюдента з k = n ступенями вільності.

Розподіл Стьюдента також залежить від одного параметраn, і при n ® ¥ він наближається до нормального закону.

3.8.4. РОЗПОДІЛ ФІШЕРА-СНЕДЕКОРА

Припустимо, що U і V – незалежні випадкові величини, які мають c 2 розподіли із k1 і k2 ступенями вільності відповідно. Випадкова величина

F= U / k1 V / k2

залежить від двох параметрів – ступенів вільності k1 і k2 .

Цей розподіл отримав назвуF-розподілу, або розподілу ФішераСнедекора.

Зокрема, F-розподілу підпорядковується відношення дисперсій двох незалежних вибірок обсягів n і m із двох, нормально розподілених генеральних сукупностей із рівними дисперсіями. У цьому випадку k1 = n -1 =i k2 m -1.

3.8.5. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧНОГО СПОДІВАННЯ

Теорема. Припустимо, що X – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, x – вибіркове середнє, знайдене за вибіркою обсягу n із цієї генеральної сукупності. Тоді x – нормально розподілена випадкова величина.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

116

Теорема. Припустимо, що X – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, для якої M ( X ) = a, D( X=) s 2 , x - вибіркове середнє, обчислене за вибіркою обсягу n із цієї генеральної сукупності. Тоді для "t > 0

слене за вибіркою обсягу n із цієї генеральної сукупності. Тоді для "t > 0

Припустимо, що x1, x2, …, xn – результати n незалежних спостережень за випадковою величиною X, на підставі яких необхідно знайти інтервал довіри для невідомого параметра a = M (X ).

Оскільки для математичного сподівання статистичною точковою оцінкою є вибіркове середнє x, то для знаходження інтервалу довіри

Якщо середнє квадратичне відхилення s випадкової величини X

відоме, то розв’язок рівняння(3.35) можна знайти, використовуючи рівність (3.33) або (3.34).

Так, якщо X – нормально розподілена випадкова величина звідо-

мим середньоквадратичним відхиленням s , то можна записати, що

є інтервалом довіри математичного сподівання a.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

117

Якщо середнє квадратичне відхилення s – невідоме, але обсяг вибірки значний n > 30 , то інтервал довіри можна записати у вигляді:

де s – виправлене середнє квадратичне відхилення, знайдене за вибіркою обсягу n.

Якщо середнє квадратичне відхилення s – невідоме, але обсяг вибірки незначний (n < 30), X – нормально розподілена випадкова величина, то інтервал довіри також записують за допомогою формули (3.36), де значення tg знаходять за таблицями як розв’язок рівняння

P{| T |< tg } = g ,

де T = x - a - випадкова величина, розподілена за законом s / n

Ст’юдента з k = n -1 ступенями вільності.

Розподіл Стьюдента залежить лише від одного параметра n і при n ® ¥ наближається до нормального розподілу. Тому навіть якщо

середнє квадратичне відхилення s випадкової величини X невідоме,

але обсяг вибірки значний (n > 30) , то можна користуватися формулою

(3.33) або (3.34).

Якщо необхідно оцінити математичне сподівання із заздалегідь заданою точністю d і надійністю g , то мінімальний обсяг вибірки, який забезпечить цю точність, знаходять за формулою

(як наслідок рівності d = ts / n ).

Приклад 3.6. Випадкова величина X розподілена нормально з відомим середньоквадратичним відхиленням s = 3. Знайти інтервал довіри з надійністю g = 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання a, якщо вибіркове середнє x = 25,02 знайдене за даними вибірки обсягу n = 36.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

118

Приклад 3.7. Ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. За вибіркою обсягу n =17 знайдено вибіркове середнє x = 26,2 і виправлене середнє квадратичне відхиленнямs = 0,8. Оцінити невідоме математичне сподівання a за допомогою інтервалу довіри з надійністю g = 0,95.

Розв’язання. Оскільки обсяг вибірки незначнийn =17 < 30 і середнє квадратичне відхилення s невідоме, то для знаходження меж інтервалу довіри скористуємося формулою (3.36), де значення tg зна-

ходимо за допомогою таблиці (додаток Г): tg = t (0,95; 16) = 2,12. Тоді

Отже, a Î(25, 776; 26, 624) із надійністю g = 0,95.

Приклад 3.8. Знайти мінімальний обсяг вибірки, на підставі якої можна було б оцінити математичне сподівання випадкової величини з похибкою, яка не перевищує 0,2, і надійністю 0,98, якщо випадкова величина розподілена нормально з s = 4.

Розв’язання. Із рівняння 2Ф(t ) = 0,98 Û Ф (t ) = 0, 49 за допомо-

гою таблиці функції Лапласа (див. додаток Б) знаходимо t = tg = 2,33. За формулою (3.37) знаходимо n:

n= tg2s 2 d 2 = (2,332 × 4)0, 22 » 2171.

3.8.6.ОЦІНКА ІСТИННОГО ЗНАЧЕННЯ ВИМІРЮВАНОЇ ВЕЛИЧИНИ

Припустимо, що проводять одним приладомn незалежних вимірювань деякої фізичної величини з однаковою точністю приладу, до того ж істинне значення цієї величини невідоме. Результати вимірювань x1, x2 , ... xn - це незалежні однаково розподілені випадкові величини, оскільки вони мають одне й те саме математичне сподівання – істинне значення вимірюваної величини та однакові дисперсії, бо вимірювання здійснюється з однаковою точністю. На підставі центральної граничної теореми можна також стверджувати, що ці випадкові величини розподілені нормально. Отже, істинне значення величини, яка вимірюється, можна оцінити за середнім арифметичним окремих вимірювань за допомогою інтервалів довіри.

Приклад 3.9. За даними9-ти незалежних вимірювань фізичної величини, здійснених за допомогою одного приладу, знайдено середнє

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

119

арифметичне результатів окремих вимірювань x = 52,320 і виправлене середнє квадратичне відхилення s = 5,0. Оцінити істинне значення вимірюваної величини з надійністю g = 0,95.

Розв’язання. Оскільки n = 9 < 30 і середнє квадратичне відхилення невідоме, то межі інтервалу довіри знаходимо за формулою(3.36), а значення tg – за допомогою таблиці(див. додаток Г): tg = t(0,95; 8) = 2,31.

Тоді

Отже, із надійністю g = 0,95 істинне значення вимірюваної величини покривається інтервалом (48,55; 56,09).

3.8.7. ІНТЕРВАЛИ ДОВІРИ ДЛЯ СЕРЕДНЬОГО КВАДРАТИЧНОГО ВІДХИЛЕННЯ НОРМАЛЬНО РОЗПОДІЛЕНОЇ ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ

Припустимо, що ознака X генеральної сукупності розподілена нормально. Знайдемо інтервал довіри для середнього квадратичного відхилення s із заданою надійністю g . Оскільки статистичною точковою оцінкою для параметра s є виправлене середнє квадратичне відхилення s, то для цього потрібно розв’язати рівняння:

P{s - s < d}= g Û P{s -d < s < s + d} = g .

коном c 2 з n -1 ступенями вільності, тому квадратний корінь із неї позначають через c.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

120

Припустимо, що q <1, тоді нерівність (3.38) перетвориться так:

маємо шуканий інтервал довіри(3.38), який покриває параметр s із заданою ймовірністю g .

Якщо q >1, то нерівність (3.38) набуває вигляду: 0 < s < s(1 + q).

Уцьому випадку q також шукають за таблицею значень q = q(g , n) (див. додаток Е).

3.8.8.ОЦІНКА ТОЧНОСТІ ВИМІРЮВАНЬ

Утеорії помилок прийнято точність вимірювань характеризувати за допомогою середнього квадратичного відхиленняs випадкових помилок вимірювань. Для оцінки s використовують виправлене середнє квадратичне відхилення s.

Приклад 3.10. За даними 20-ти рівноточних вимірювань знайдено виправлене середнє квадратичне відхилення s = 0,12. Знайти точність вимірювання з надійністю g = 0,99.

Розв’язання. Знайти точність вимірювання – означає знайти інтервал довіри s (1- q) <s < s (1+ q), який покриває s із заданою надійністю g = 0,99. За таблицею значень q = q (g , n) (див. додаток E) знаходимо q = q (0,99; 20) = 0,58. Шуканий інтервал довіри:

0,12(1 - 0,58) <s < 0,12(1 + 0,58), 0,0504 < s < 0,1896.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

121