- •ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
- •Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
- •Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
- •ВСТУП
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.1.2. Елементи комбінаторики
- •Таблиця 1.1
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
- •1.5.1. Формула Бернуллі
- •1.5.2. Формула Пуассона
- •1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
- •Таблиця 2.1
- •Числові характеристики деяких розподілів
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.4.1. Лема Чебишова
- •2.4.2. Теорема Чебишова
- •2.4.3. Теорема Бернуллі
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
- •Таблиця 2.2
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 2.5
- •Числові характеристики двовимірної випадкової величини
- •Продовж. табл. 2.5
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
- •Питання для самоконтролю
- •3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
- •Таблиця 3.1
- •Таблиця 3.2
- •Таблиця 3.3
- •Таблиця 3.4
- •Таблиця 3.5
- •Таблиця 3.6
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ
- •Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1
- •Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6
- •3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 3.8
- •Таблиця 3.9
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості
- •3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
- •3.8.1. Надійність. Інтервал довіри
- •3.8.3. Розподіл Стьюдента
- •3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора
- •3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ
- •Таблиця 3.10
- •Таблиця 3.10
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу
- •3.9.4. Метод найменших квадратів
- •Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
- •3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду
- •3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези
- •Питання для самоконтролю
- •Таблиця 3.12
- •Таблиця 3.13
- •Таблиця 3.14
- •Таблиця 3.15
- •3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом
- •3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Додаток А
- •Таблиця значень функції
- •Додаток Б
- •Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток В
- •Додаток Г
- •Додаток Д
- •Критичні точки розподілу F Фішера-Снедекора
- •Додаток Е
- •Таблиця значень
- •Додаток Ж
- •Значення
Питання для самоконтролю
1.Що вивчає математична статистика, які її завдання є основними?
2.Що називається генеральною сукупністю?
3.Які підходи до інтерпретації вибірки Ви знаєте?
4.Що називається вибіркою, обсягом вибірки?
5.Які види вибірки існують?
6.Яка вибірка є репрезентативною?
3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
Статистичним рядом називають вибірку обсягуn: x1, x2 ,..., xn , одержану з генеральної сукупності. Він підлягає подальшій обробці та аналізу.
Перший етап обробки статистичного ряду – ранжування – запис елементів у порядку їх зростання(неспадання), в результаті якого отримують так званий простий варіаційний ряд, елементами якого є
x(1) , x(2) , ..., x(n) , де x(1) £ x(2) £... £ x(n) .
Наступний етап обробки – побудова статистичного (емпіричного)
закону розподілу.
Якщо X – дискретна випадкова величина, найбільш природна форма статистичного закону розподілу вибірки описується за допомогою згрупованого варіаційного ряду.
Згрупований варіаційний ряд отримано на основі простого варіаційного ряду шляхом відборувсіх різних елементів, та розміщення їх у порядку зростання: x1, x2 ,..., xn , де x(1) £ x(2) £... £ x(n) , (k £ n).
Для виділених варіант одночасно обчислюютьчастоти ni ,(i =1, k),
що їм відповідають, або відносні частоти wi ,(i =1, |
k). |
|||
w |
= |
ni |
. |
(3.1) |
|
||||
i |
|
n |
|
|
|
|
|
||
Очевидно, що |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
åni = n , |
(3.2) |
|||
i =1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
åwi =1. |
(3.3) |
i=1
Дискретним статистичним розподілом вибіркиназивається від-
повідність між варіантами та їх частотами або відносними частотами.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
92
Дискретний статистичний розподіл подають у формі таблиць 3.1-3.2: · дискретний статистичний розподіл частот:
|
|
|
|
Таблиця 3.1 |
xi |
x1 |
x2 |
… |
xk |
|
|
|
|
|
ni |
n1 |
n2 |
… |
nk |
|
|
|
|
|
· дискретний статистичний розподіл відносних частот:
|
|
|
|
Таблиця 3.2 |
xi |
x1 |
x2 |
… |
xk |
|
|
|
|
|
wi |
w1 |
w2 |
… |
wk |
|
|
|
|
|
Якщо X – неперервна випадкова величина (а також у випадку, коли випадкова величина дискретна й обсяг вибірки відносно великий: n ³ 30 ) статистичний закон розподілу вибірки записують якінтервальний варіаційний ряд частот або відносних частот.
Інтервальним статистичним розподілом вибіркиназивається відповідність між інтервалами варіаційного ряду та їх частотами або відносними частотами (або щільністю відносних частот).
Схема побудови інтервального статистичного розподілу вибірки:
·статистичні дані ранжують;
·визначають оптимальний інтервал довжиною h – такий, при якому інтервальний ряд не був би великим і в той же час дозволяв виявити характерні риси досліджуваного явища.
Довжину інтервалу h знаходимо як відношення розмаху варіації R до числа інтервалів K:
h = |
R |
, |
(3.4) |
|
|||
|
K |
|
де число інтервалів наближено обчислюємо за допомогоюформули Стерджесса:
K =1 + 3,322 ×lg n. |
(3.5) |
Якщо h дробове, то за величину h можна взяти або найближче ціле число, або найближче нескладне дробове значення. За початок першого інтервалу раціонально взяти a0:
a0 = xmin - (h / 2), |
(3.6) |
початок другого інтервалу збігається з кінцем першого й дорівнює
a1 = a0 + h |
(3.7) |
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
93
і т.д. Цей процес продовжують, поки початок наступного інтервалу не буде більшим (якщо дорівнює, в інтервальному варіаційному ряді останній проміжок – відрізок), ніж xmax ;
· визначають частоту n для кожного інтервалу, тобто число значень
i
випадкової величини, що належать цьому інтервалу, включаючи й значення, що співпали з нижньою межею, але менше верхньої межі;
· визначають відносні частоти: |
|
|
|||
|
|
wi = ni / n. |
|
(3.8) |
|
Інтервальний статистичний розподіл вибірки, як і дискретний, |
|||||
записують у вигляді таблиць 3.3-3.4: |
|
|
|||
· інтервальний статистичний розподіл частот: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Таблиця 3.3 |
|
|
|
|
|
|
[ai-1; ai ) |
[a0 ; a1) |
[a1; a2 ) |
|
… |
[am-1; am ) |
|
|
|
|
|
|
ni |
n1 |
n2 |
|
… |
nm |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
å n i = n; |
|
(3.9) |
i= 1
·інтервальний статистичний розподіл відносних частот:
|
|
|
|
Таблиця 3.4 |
[ai-1; ai ) |
[a0 ; a1 ) |
[a1; a2 ) |
… |
[am-1; am ) |
|
|
|
|
|
wi |
w1 |
w2 |
… |
wm |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
åwi =1. |
|
(3.10) |
|
|
i=1 |
|
|
Інтервальний статистичний розподіл вибірки за необхідності мо-
жна замінити дискретним, для цього в кожному інтервалі[ai -1; ai ) обирають його “представника”, тобто знаходять середнє арифметичне:
xi* = (ai-1 + ai ) / 2,
а відповідні значення частот (відносних частот) залишають без змін.
Приклад 3.1. Розглянемо побудову ряду розподілу за початковими даними про розмір прибутку20-ти комерційних банків регіону за місяць (у млн. грош. од.): xi – 3,7; 4,3; 6,7; 5,6; 5,1; 8,1; 4,6; 5,7; 6,4; 5,9; 5,2; 6,2; 6,3; 7,2; 7,9; 5,8; 4,9; 7,6; 7,0; 6,9.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
94