24.Коробки з шоколадом пакуються автоматично, їх середня маса дорівнює 1,06 кг. Якщо тільки 5 % коробок має масу, меншу 1 кг, знайти середнє квадратичне відхилення, вважаючи, що маса коробок розподілена нормально.

25.Випадкова величина Х має нормальний розподіл з М(Х) = 0. Ймовірність попадання величиниХ в інтервал(–а; а) дорівнює 0,5, a > 0. Знайти s і f (x).

26.Середнє квадратичне відхилення випадкової величини, розподіленої за нормальним законом, дорівнює 2 см, а математичне сподівання – 16 см. Знайти межі, в яких з ймовірністю 0,95 слід очікувати випадкову величину.

2.4.ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ.

ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ І ЦЕНТРАЛЬНА ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА. НЕРІВНІСТЬ ЧЕБИШОВА

2.4.1. ЛЕМА ЧЕБИШОВА

Лема Чебишова. Нехай Х – випадкова величина, можливі значення якої невід’ємні A = const, A > 0, тоді ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення не меншеА, буде не більшим дробу, чисельник якого – M ( X ), а знаменник А, тобто

e > 0 , ймовірність події (X n - A < e ) при n ® ¥ наближається до 1,

тобто lim P (| X n - A |< e ) =1.

n®¥

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

57

Приклад 2.10. Ймовірність запізнення пасажира на потяг0,007. Оцінити ймовірність того, що із 20 000 пасажирів буде від 100 до 180 (включно) тих, що запізнилися.

Розв’язання. Застосуємо нерівність Чебишова

P ( X - a < e ) ³ 1 - D ( X ) ; e 2

M ( X ) = пр = 20 000 × 0,007 = 140; D( X ) = прq = 140 ×0,993 = 130,02.

Межі допустимих значень симетричні відносно М(Х), ліва – 140 –

– 40 = 100, права – 180 – 140 = 40.

Теорема. Якщо X1, X2,..., Xn – попарно незалежні випадкові величини, дисперсії їх рівномірно обмежені (тобто D(Хi) £ С), то яким би малим не було додатне число e, справедливе таке співвідношення

Наслідок із теорема Чебишова. Якщо в результаті п спостере-

жень, де п досить велике, одержані випадкові величини X1, X2,..., Xn – попарно незалежні з одним і тим же M ( X ), тобто M ( X1) = M ( X 2 ) = ...

... = M ( X n ) = a і рівномірно обмеженими дисперсіями D(Xі) £ С, то се-

1 n

реднє арифметичне значення величин, що спостерігаються å X i ,

n i =1

збігається за ймовірністю до числа а, тобто:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

58