3.10.4. ПЕРЕВІРКА ГІПОТЕЗИ ПРО ПОРІВНЯННЯ СЕРЕДНЬОГО ЗНАЧЕННЯ ОЗНАКИ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ ЗІ СТАНДАРТОМ

У критеріях для перевірки гіпотези H0: a = a0 про те, що значення математичного сподівання a = M (X ) досліджуваної ознаки гене-

ральної сукупності збігається зі стандартомa , використовують

0

статистику x – вибіркове середнє. Розрізняють такі моделі залежно від інформації щодо генеральної сукупності, якою ми володіємо.

Модель А. Гіпотеза про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови відомої дисперсії.

Припустимо, що випадкова величина розподілена нормально з невідомим математичним сподіванням a = M ( X ), але відомою диспе-

рсією s 2 = D( X ). Потрібно на підставі вибірки перевірити нульову гіпотезу H0 : a = a0 про рівність математичного сподівання a певному числу a0 . При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу n; середнє квадратичне відхилення s = s ( X ); гіпотетичне значення математичного сподівання a0 ; рівень значущості a.

Тоді випливає, що вибіркове середнє x для вибірки з нормального розподілу з параметрами (a, s 2 ) має нормальний розподіл із пара-

s

яку беруть за критерій перевірки гіпотези H 0 , також розподілена нормально з параметрами (0; 1).

Справді,

Отже, щільність розподілу випадкової величини U має вигляд:

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

141

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: H1 : a ¹ a0 , то розглядають двосторонню симетричну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

P {U > uкр } = a / 2.

Оскільки P { 0 < U < ¥ } = Ц(¥) = 0,5,

то P { 0 <U < ¥ } = P { 0 <U < uкр }+ P {U > uкр } = 0,5,

тобто

Правило 1. Якщо нульова гіпотеза H 0 : a = a0 , а конкуруюча гіпотеза H1 : a ¹ a0 , то перевірку гіпотези H 0 проводимо за такою схемою: 1) обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

2)знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення uкр , використовуючи рівняння:

3) робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо U емп < uкр , то гіпо-

ють правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення:

P {U > uкр } = a.

Тоді

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд H1 : a < a0 , то розглядають лівосторонню критичну область, для якої

P {U < - uкр } = a.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

142

Правило 2. Якщо нульова гіпотеза H 0 : a = a0 , а конкуруюча гіпотеза H1 : a > a0 , або H1 : a < a0 , то перевірку гіпотези H 0 проводимо за схемою правила 1 із такими змінами:

1)замість рівняння (3.45) для знаходження критичного значення uкр

використовуємо рівняння:

Приклад 3.14. Із нормально розподіленої генеральної сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленнямs = 5 одержано вибірку

обсягу n = 25. За цією вибіркою знайдено вибіркове середнє x = 25,7. Необхідно для рівня значущості a = 0,05 перевірити нульову гіпотезу H 0 : a = a0 = 30 за наявності конкуруючої: а) H1 : a ¹ a0 ; б) H1 : a < a0 .

Модель Б. Гіпотеза про значення математичного сподівання нормального закону розподілу за умови невідомої дисперсії.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

143

Припустимо, що випадкова величина X нормально розподілена

з невідомими математичним сподіваннямa = M ( X ) і дисперсією s 2 = D( X ). Потрібно на підставі вибірки перевірити нульову гіпотезу H 0 : a = a0 про рівність математичного сподівання a певному числу a0 . При цьому припускаємо, що відомі такі величини: дані вибірки обсягу n; гіпотетичне значення математичного сподіванняa0 ; рівень значущості a.

Оскільки середнє квадратичне відхиленняs = s (x) невідоме, то для перевірки гіпотези H 0 не зможемо скористатися статистикою через те, що для неї неможливо буде обчислити емпіричне значення Uemn . У даному випадку використовуємо статистику

T = (x - a0 )n , s

де x – вибіркове середнє;

s – виправлене середнє квадратичне відхилення.

Можна показати, що за умови істинності гіпотези H 0 випадкова

величина T має розподіл Стьюдента з k = n -1 ступенями вільності. Подальша побудова критичної області для двота односторонніх

перевірок гіпотези здійснюється аналогічно випадку моделіA з відмінністю в тому, що критичні точки (тут замість uкр вони позначати-

муться через tкр ) визначаються за таблицею критичних точок розподілу

Стьюдента (див. додаток Г), а не значень функції Лапласа. За того самого рівня значущості a значення tкр буде більшим, ніж uкр .

Правило 1. Якщо нульова гіпотеза H0 : a = a0 , а конкуруюча гіпо-

2)знаходимо за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості a (для двосторонньої критичної області) й кількістю ступенів вільності k = n -1 критичну точку tкр = tкр (a, k );

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

144

Правило 2. Якщо нульова гіпотеза H 0 : a = a0 , а конкуруюча гіпотеза H1 : a > a0 , або H1 : a < a0 , то перевірку гіпотези H 0 проводимо за схемою правила 1 із такими змінами:

1)за таблицею критичних точок розподілу Стьюдента за даним рівнем значущості a (для односторонньої критичної області) і кі-

Приклад 3.15. Із нормально розподіленої генеральної сукупності одержано вибірку обсягу n = 25. За цією вибіркою знайдено вибіркове середнє x =125,3 та виправлене середнєs = 5,2 . Необхідно для рівня значущості a = 0,05 перевірити нульову гіпотезу H 0 : a = a0 =130 за

наявності конкуруючої: а) H1 : a ¹ a0 ; б) H1 : a < a0 .

Розв’язання. Обчислимо емпіричне значення критерію за фор-

мулою (3.47): Tемп = (125,3 -130)25 » -4,52. 5,2

Розглянемо окремо випадки:

а) для альтернативної гіпотези H1 : a ¹ a0 обчислимо значення tкр за

таблицею для числа ступенів вільності k = n -1 = 25 -1 = 24 і рівня значущості a = 0,05, користуючись додатком Г, знаходимо tкр = 2,06

(для двосторонньої критичної області). Оскільки Tемп > tкр , то відхи-

ляємо гіпотезу H 0 на користь H1;

б) для альтернативної гіпотези H1 : a < a0 знаходимо значення tкр за

таблицею для числа ступенів вільності k = n -1 = 25 -1 = 24 і рівня значущості a = 0,05, користуючись додатком Г, знаходимо tкр =1,71

(для правосторонньої критичної області). Оскільки Tемп » -4,52 < -1,71, гіпотезу H 0 відхиляємо і приймаємо гіпотезу H1 : a < a0 .

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

145