- •ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
- •Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
- •Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
- •ВСТУП
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.1.2. Елементи комбінаторики
- •Таблиця 1.1
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
- •1.5.1. Формула Бернуллі
- •1.5.2. Формула Пуассона
- •1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
- •Таблиця 2.1
- •Числові характеристики деяких розподілів
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.4.1. Лема Чебишова
- •2.4.2. Теорема Чебишова
- •2.4.3. Теорема Бернуллі
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
- •Таблиця 2.2
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 2.5
- •Числові характеристики двовимірної випадкової величини
- •Продовж. табл. 2.5
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
- •Питання для самоконтролю
- •3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
- •Таблиця 3.1
- •Таблиця 3.2
- •Таблиця 3.3
- •Таблиця 3.4
- •Таблиця 3.5
- •Таблиця 3.6
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ
- •Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1
- •Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6
- •3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 3.8
- •Таблиця 3.9
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості
- •3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
- •3.8.1. Надійність. Інтервал довіри
- •3.8.3. Розподіл Стьюдента
- •3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора
- •3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ
- •Таблиця 3.10
- •Таблиця 3.10
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу
- •3.9.4. Метод найменших квадратів
- •Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
- •3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду
- •3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези
- •Питання для самоконтролю
- •Таблиця 3.12
- •Таблиця 3.13
- •Таблиця 3.14
- •Таблиця 3.15
- •3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом
- •3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Додаток А
- •Таблиця значень функції
- •Додаток Б
- •Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток В
- •Додаток Г
- •Додаток Д
- •Критичні точки розподілу F Фішера-Снедекора
- •Додаток Е
- •Таблиця значень
- •Додаток Ж
- •Значення
УДК 519.86(075.8) М18
Рекомендовано до видання вченою радою Державного вищого навчального закладу “Українська академія банківської справи Національного банку України”, протокол № 3 від 28.11.2008.
Рецензенти:
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко;
кандидат технічних наук, доцент
С.В. Кунцев
Відповідальний за випуск
кандидат технічних наук, доцент
В.В. Яценко
Малютіна, Т. І.
М18 Вища математика для економістів. Ч. 4. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст] : практикум : у 4 ч. / Т. І. Малютіна, К. А. Дахер ; Державний вищий навчальний заклад“Українська академія банківської справи Національного банку України”. – Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. – 159 с.
Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
УДК 519.86(075.8)
©Малютіна Т.І., Дахер К.А., 2009
©ДВНЗ “Українська академія банківської справи Національного банку України”, 2009
ЗМІСТ |
|
ВСТУП ............................................................................................................. |
6 |
Розділ І. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ ....................................................................... |
7 |
1.1. ПРОСТІР ЕЛЕМЕНТАРНИХ ПОДІЙ. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ |
|
ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ. КОМБІНАТОРИКА............................... |
7 |
1.1.1. Основні поняття теорії ймовірностей. Операції над подіями........ |
7 |
1.1.2. Елементи комбінаторики ............................................................. |
9 |
1.2. ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ. |
|
СПОСОБИ ОБЧИСЛЕННЯ |
|
ЙМОВІРНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ ...................................... |
12 |
1.3. ТЕОРЕМИ ДОДАВАННЯ І МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ. |
|
УМОВНА ЙМОВІРНІСТЬ ................................................................... |
17 |
1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА ......... |
22 |
1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ............................... |
25 |
1.5.1. Формула Бернуллі ...................................................................... |
25 |
1.5.2. Формула Пуассона ..................................................................... |
26 |
1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа........................................... |
27 |
1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа....................................... |
27 |
Розділ ІІ. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ........................................................ |
32 |
2.1. ОДНОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ. |
|
СПОСОБИ ЗАДАННЯ......................................................................... |
32 |
2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. |
|
Основні закони розподілу .......................................................... |
32 |
2.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу. |
|
Основні закони розподілу .......................................................... |
34 |
2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН ......... |
41 |
2.3. РІВНОМІРНИЙ, ПОКАЗНИКОВИЙ, |
|
НОРМАЛЬНИЙ РОЗПОДІЛИ............................................................. |
51 |
2.4. ГРАНИЧНІ ТЕОРЕМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ. |
|
ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ І ЦЕНТРАЛЬНА |
|
ГРАНИЧНА ТЕОРЕМА. НЕРІВНІСТЬ ЧЕБИШОВА ....................... |
57 |
2.4.1. Лема Чебишова........................................................................... |
57 |
2.4.2. Теорема Чебишова ..................................................................... |
58 |
2.4.3. Теорема Бернуллі ....................................................................... |
59 |
2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА ..................................... |
62 |
2.5.1. Закон розподілу ймовірностей. Закони розподілу компонент .... |
62 |
2.5.2. Функція розподілу двовимірної випадкової величини |
|
та її властивості .......................................................................... |
64 |
2.5.3. Щільність сумісного розподілу ймовірностей неперервної |
|
двовимірної випадкової величини, основні властивості. |
|
Ймовірність попадання випадкової точки в задану область .... |
65 |
2.5.4. Умовні закони розподілу складових системи дискретних |
|
і неперервних випадкових величин. |
|
Залежні та незалежні випадкові величини................................ |
67 |
2.5.5. Числові характеристики двовимірної випадкової величини. |
|
Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції ........................... |
77 |
2.5.6. Умовні числові характеристики |
|
двовимірної випадкової величини. Регресія ............................. |
85 |
Розділ III. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ ................ |
90 |
3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ |
|
МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ.................................................... |
90 |
3.2. ГЕНЕРАЛЬНА ТА ВИБІРКОВА СУКУПНОСТІ. ВИБІРКА. |
|
СПОСОБИ ВІДБОРУ ........................................................................... |
90 |
3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ.......................................... |
92 |
3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ ........ |
96 |
3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА ...................... |
98 |
3.6. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧНОГО |
|
РОЗПОДІЛУ ВИБІРКИ ...................................................................... |
100 |
3.7. СТАТИСТИЧНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ |
|
ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ......................................................... |
106 |
3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу |
|
та їх властивості ........................................................................ |
106 |
3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання ...................... |
107 |
3.7.3. Статистична оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія ............ |
107 |
3.7.4. Метод моментів статистичного оцінювання |
|
параметрів розподілу ................................................................ |
109 |
3.7.5. Метод максимуму правдоподібності |
|
статистичного оцінювання параметрів розподілу ................... |
111 |
3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ .................... |
114 |
3.8.1. Надійність. Інтервал довіри...................................................... |
114 |
3.8.2. Розподіл c 2 – “хі-квадрат” ...................................................... |
115 |
3.8.3. Розподіл Стьюдента .................................................................. |
116 |
3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора ..................................................... |
116 |
3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання................. |
116 |
3.8.6. Оцінка істинного значення вимірюваної величини................. |
119 |
3.8.7. Інтервали довіри для середнього квадратичного відхилення |
|
нормально розподіленої випадкової величини........................ |
120 |
3.8.8. Оцінка точності вимірювань..................................................... |
121 |
3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ................................................... |
123 |
|
3.9.1. |
Функціональна, статистична й кореляційна залежності..... |
123 |
3.9.2. |
Вибірковий коефіцієнт кореляції. |
|
|
Коефіцієнт детермінації ....................................................... |
123 |
3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу.................. |
128 |
|
3.9.4. |
Метод найменших квадратів................................................ |
129 |
3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ....... |
133 |
|
3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду ... |
133 |
|
3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези ......... |
135 |
|
3.10.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. |
|
|
|
Критерій згоди Пірсона........................................................ |
137 |
3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення |
|
|
|
ознаки генеральної сукупності зі стандартом ..................... |
141 |
3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій |
|
|
|
двох незалежних випадкових величин ................................ |
146 |
3.10.6. Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції .... |
147 |
|
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ |
|
|
ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ ................................................ |
151 |
|
ДОДАТКИ.................................................................................................... |
|
153 |