- •ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
- •Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
- •Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
- •ВСТУП
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.1.2. Елементи комбінаторики
- •Таблиця 1.1
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
- •1.5.1. Формула Бернуллі
- •1.5.2. Формула Пуассона
- •1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
- •Таблиця 2.1
- •Числові характеристики деяких розподілів
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.4.1. Лема Чебишова
- •2.4.2. Теорема Чебишова
- •2.4.3. Теорема Бернуллі
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
- •Таблиця 2.2
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 2.5
- •Числові характеристики двовимірної випадкової величини
- •Продовж. табл. 2.5
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
- •Питання для самоконтролю
- •3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
- •Таблиця 3.1
- •Таблиця 3.2
- •Таблиця 3.3
- •Таблиця 3.4
- •Таблиця 3.5
- •Таблиця 3.6
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ
- •Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1
- •Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6
- •3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 3.8
- •Таблиця 3.9
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості
- •3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
- •3.8.1. Надійність. Інтервал довіри
- •3.8.3. Розподіл Стьюдента
- •3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора
- •3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ
- •Таблиця 3.10
- •Таблиця 3.10
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу
- •3.9.4. Метод найменших квадратів
- •Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
- •3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду
- •3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези
- •Питання для самоконтролю
- •Таблиця 3.12
- •Таблиця 3.13
- •Таблиця 3.14
- •Таблиця 3.15
- •3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом
- •3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Додаток А
- •Таблиця значень функції
- •Додаток Б
- •Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток В
- •Додаток Г
- •Додаток Д
- •Критичні точки розподілу F Фішера-Снедекора
- •Додаток Е
- •Таблиця значень
- •Додаток Ж
- •Значення
3.9.3. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І МЕТОДИ РЕГРЕСІЙНОГО АНАЛІЗУ
На відміну від кореляційного аналізу, який досліджує наявність і характер зв’язків між випадковими величинами X і Y – ознаками генеральної сукупності, регресійний аналіз встановлює аналітичну
форму цієї залежності. |
|
|
|
||
Якщо r( X , Y ) ¹ 0, то X |
і Y – корельовані випадкові величини. |
||||
Із наближенням величини |
|
|
r( X ,Y ) |
|
до одиниці залежність між цими |
|
|
||||
випадковими величинами наближається до лінійної залежності вигляду Y = aX + b.
|
Як відомо, рівняння лінійної регресії Y на X має вигляд: |
|||
|
|
|
y = a x + b , |
(3.40) |
де |
a = r( X ,Y ) |
s (Y ) |
, b = M (Y ) -a M ( X ). |
(3.41) |
|
||||
|
s ( X ) |
|
||
|
Вибірковим рівнянням лінійної регресії Y на X |
називається рів- |
||
няння (3.40), якщо коефіцієнти в ньому вибрано у вигляді точкових оцінок a і b , визначених співвідношеннями (3.41).
Припустимо, що X – незалежна змінна (факторна ознака), а Y – залежна змінна (результативна ознака). Для отримання повного опису залежності між випадковими величинами X і Y потрібно знайти аналітичний вираз сумісного розподілу цих величин, тобто функцію: F (x, y) = P(x < X , y < Y ), що, як правило, практично неможливо. Тому під час дослідження аналітичної залежності між випадковими величинами X і Y обмежуються вивченням залежності між однією з них і умовним математичним сподіванням іншої, зокрема залежністю виду:
|
|
|
x |
= f * (x) – вибіркове рівняння регресії Y на X ; |
|
yx |
= M (Y | X = x); |
||||||
|
y |
||||||||||||
|
|
|
= g * ( y) – вибіркове рівняння регресії X на Y ; |
|
|
|
= M ( X | Y = y). |
||||||
|
|
y |
|
xy |
|||||||||
|
x |
|
|||||||||||
|
|
|
|
У |
наведених вибіркових рівняннях регресії |
|
x і |
|
y – вибіркові |
||||
|
|
|
|
y |
x |
||||||||
умовні |
математичні сподівання, відповідно, Y |
на X |
та X на Y, а |
||||||||||
|
f * (x) |
і g* ( y) |
– вибіркові функції регресії відповідно. Аналітичні вира- |
||||||||||
зи для функцій |
f * (x) і g* ( y) будуємо на підставі проведеної вибірки |
||||||||||||
(x1, y1 ), (x2 , y2 ), ... ,(xn , yn ). Характер відповідної регресійної моделі допомагає вибрати діаграма розсіювання точок (xi , yi ) на площині.
Припускаючи, що ознака Y у генеральній сукупності розподілена нормально; дисперсія результативної ознаки Y не залежить від факторної ознаки X ; характер зв’язку між результативною та факторною ознаками – лінійний, тоді маємо найпростішу регресійну модель–
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
128