- •ВИЩА МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ
- •Видання містить короткі теоретичні відомості та формули, типові приклади задач і методику їх розв’язання, завдання для самостійної роботи, а також контрольні питання до кожної теми.
- •Призначене для студентів економічних спеціальностей вищих навчальних закладів.
- •ВСТУП
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.1.2. Елементи комбінаторики
- •Таблиця 1.1
- •Розв’язування комбінаторних задач
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.4. ФОРМУЛА ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ. ФОРМУЛА БАЙЄСА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •1.5. ПОСЛІДОВНІ НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ
- •1.5.1. Формула Бернуллі
- •1.5.2. Формула Пуассона
- •1.5.3. Локальна теорема Муавра-Лапласа
- •1.5.4. Інтегральна теорема Муавра-Лапласа
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.1.1. Дискретні випадкові величини. Функція розподілу. Основні закони розподілу
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.2. ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
- •Таблиця 2.1
- •Числові характеристики деяких розподілів
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.4.1. Лема Чебишова
- •2.4.2. Теорема Чебишова
- •2.4.3. Теорема Бернуллі
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5. ДВОВИМІРНА ВИПАДКОВА ВЕЛИЧИНА
- •Таблиця 2.2
- •Таблиця 2.3
- •Таблиця 2.4
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 2.5
- •Числові характеристики двовимірної випадкової величини
- •Продовж. табл. 2.5
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •2.5.6. Умовні числові характеристики двовимірної випадкової величини. Регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.1. ПРЕДМЕТ ТА ОСНОВНІ ЗАВДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
- •Питання для самоконтролю
- •3.3. СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ
- •Таблиця 3.1
- •Таблиця 3.2
- •Таблиця 3.3
- •Таблиця 3.4
- •Таблиця 3.5
- •Таблиця 3.6
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.4. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИСТИЧНИХ РОЗПОДІЛІВ
- •Рис. 3.1. Гістограма частот за даними прикладу 3.1
- •Рис. 3.2. Полігон частот за даними таблиці 3.6
- •3.5. ЕМПІРИЧНА ФУНКЦІЯ РОЗПОДІЛУ. КУМУЛЯТА
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Таблиця 3.8
- •Таблиця 3.9
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.7.1. Статистичні оцінки невідомих параметрів розподілу та їх властивості
- •3.7.2. Статистична оцінка математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.8. ІНТЕРВАЛЬНІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ
- •3.8.1. Надійність. Інтервал довіри
- •3.8.3. Розподіл Стьюдента
- •3.8.4. Розподіл Фішера-Снедекора
- •3.8.5. Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ КОРЕЛЯЦІЇ
- •Таблиця 3.10
- •Таблиця 3.10
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.9.3. Основні поняття і методи регресійного аналізу
- •3.9.4. Метод найменших квадратів
- •Рис. 3.3. Діаграма розсіювання точок
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •3.10. СТАТИСТИЧНА ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ
- •3.10.1. Статистичні гіпотези. Помилки першого та другого роду
- •3.10.2. Статистичний критерій перевірки нульової гіпотези
- •Питання для самоконтролю
- •Таблиця 3.12
- •Таблиця 3.13
- •Таблиця 3.14
- •Таблиця 3.15
- •3.10.4. Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення ознаки генеральної сукупності зі стандартом
- •3.10.5. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох незалежних випадкових величин
- •Питання для самоконтролю
- •Вправи
- •Додаток А
- •Таблиця значень функції
- •Додаток Б
- •Таблиця значень функції Лапласа
- •Додаток В
- •Додаток Г
- •Додаток Д
- •Критичні точки розподілу F Фішера-Снедекора
- •Додаток Е
- •Таблиця значень
- •Додаток Ж
- •Значення
а) |
нехай Ai (i =1, 2,3) – договір виконає і-те підприємство, |
||||||||||||||||||||||||||
|
тоді A = A1 |
|
2 |
|
|
3 U |
|
1 A2 |
|
|
3 U |
|
1 |
|
2 A3; |
||||||||||||
|
A |
A |
A |
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||
|
P( A) = 0,8 ×0,1× 0,15 + 0,2 × 0,9 × 0,15 + 0,2 × 0,1× 0,85 = 0,056; |
||||||||||||||||||||||||||
б) B = A1 A2 |
|
|
3 U A1 |
|
2 A3 U |
|
1 A2 A3 ; |
||||||||||||||||||||
A |
A |
A |
|||||||||||||||||||||||||
|
P(B) = 0,8 ×0,9 ×0,15 + 0,8 × 0,1×0,85 + 0,2 × 0,9 × 0,85 = 0,334; |
||||||||||||||||||||||||||
в) |
D = |
|
1 |
|
|
|
3, P(D) 0, 2 × 0,1×0,15 = 0,003; |
||||||||||||||||||||
A |
A |
2=A |
|||||||||||||||||||||||||
г) |
P(E) =1 - P( |
|
) =1 - 0,003 = 0,997. |
||||||||||||||||||||||||
E |
Питання для самоконтролю
1.Дати означення суми подій. Сформулювати теореми додавання ймовірностей для несумісних і сумісних подій.
2.Які випадкові події називаються:
а) незалежними в сукупності; б) попарно незалежними?
3.Дати означення умовної ймовірності випадкової події.
4.Дати означення добутку подій. Сформулювати теореми множення ймовірностей для залежних і незалежних подій.
5.Що важливо враховувати при застосуванні теорем додавання, теорем множення?
6.Записати формулу обчислення ймовірності появи принаймні однієї з п несумісних подій.
Вправи
1.Ймовірність того, що покупець, зайшовши у певний магазин, придбає що-небудь, дорівнює 0,3. Якщо двоє покупців заходять до магазину, то яка ймовірність того, що:
а) вони обоє що-небудь куплять; б) жоден не зробить покупки;
в) один із двох точно зробить покупку?
2.У кожному з трьох ящиків лежить по10 деталей; у першому ящику 2 деталі браковані, у другому – 3, у третьому – 1. З кожного ящика беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що:
а) всі деталі браковані; б) серед трьох деталей є принаймні одна стандартна.
3.Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,6, для третього – 2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків не більше ніж одним підприємством.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
20
4.Ймовірність виконання договору для першого підприємства2/5 для другого – 0,8, для третього ця ймовірність становить 60 % від суми ймовірностей першого та другого підприємств. Знайти ймовірність виконання договору тільки двома підприємствами.
5.Ймовірність виготовлення бракованої деталі на першому верстаті дорівнює 0,2, на другому ця ймовірність на50 % більша, ніж на першому, на третьому – 1/20. На кожному верстаті виготовлено по одній деталі. Визначити ймовірність того, що серед цих трьох деталей буде не більше двох бракованих.
6.Підкинули дві монети. Розглядаються дві події: А – випав герб на першій монеті; В – випав герб на другій монеті. Знайти ймовірність А + В, АВ.
7.Підкинуто дві монети. Подія А – на першій монеті випав герб, подія В – на другій монеті випав герб. Знайти ймовірність події С = А + В.
8.З урни, в якій лежать12 білих і 8 червоних кульок, беруть послідовно дві кульки. Відомо, що перша виявилася білою. Яка ймовірність того, що друга кулька виявиться:
а) білою; б) червоною?
9.В одному ящику 5 білих і 10 червоних кульок, у другому – 10 білих і 5 червоних кульок. З кожного ящика навмання беруть по одній кульці. Знайти ймовірність того, що буде вийнято одну білу кульку.
10.Маємо 10 квитків вартістю по 10 грн., 6 квитків по 30 грн., 4 квитки по 50 грн. Навмання беремо три квитки. Знайти ймовірності таких подій: А – принаймні два з них мають однакову вартість; В – три навмання взяті квитки коштують 10 грн.
11.З двох гармат зроблено по одному пострілу. Ймовірність влучення
з першої гармати – 0,9, з другої – 0,6. Знайти ймовірність: а) одного влучення; б) принаймні одного влучення.
12.Два стрільці влучають у ціль з ймовірностями0,7; 0,8 відповідно. Кожен з них робить один постріл. Яка ймовірність того, що:
а) обидва влучать; б) жоден не влучить;
в) принаймні один влучить; г) лише один влучить у ціль?
13.Ймовірність принаймні одного влучення в ціль при трьох пострілах дорівнює 7/8. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі.
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
21