Кореляційний момент характеризує як розсіювання величин Х і Y, так і зв’язок між ними. Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, то можна показати, що кореляційний момент mxy = 0 (обернене не має
місця).
Випадкові величини, для яких кореляційний момент дорівнює нулю, називаються некорельованими.
Коефіцієнтом кореляції rxy двовимірної випадкової величини (X , Y )
називається відношення кореляційного моменту mxy |
|
|
до добутку серед- |
|||||||||||||||||||||
ніх квадратичних відхилень s x і s y |
цих величин: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
rxy = |
|
|
mxy |
|
|
, |
|
|
|
|
|
(2.36) |
|
|||||||
|
|
|
|
s ( X )s (Y ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
де s ( X ) = |
|
|
|
|
|
. Зазначимо, що |
|
|
rxy |
|
£ 1. Коефіцієнт |
|||||||||||||
D( X ), s (Y ) = |
|
D(Y ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
кореляції характеризує ступінь тісноти лінійної залежності між |
||||||||||||||||||||||||
величинами Х і Y. Чим ближче |
значення |
|
rxy |
|
|
до одиниці, тим |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
більш точною буде рівність Y » aX + b. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Якщо rxy = 0 , |
то або залежність між Х і Y лінійному закону не |
|||||||||||||||||||||||
підлягає, або вони взагалі незалежні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблиця 2.5 |
|
Числові характеристики двовимірної випадкової величини |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Для дискретних Х і Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
M ( X ) = å åxi p(xi , y j ) = åxi p(xi ); |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
j 1 |
|
= i |
1 |
|
|
|
|
= |
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
M (Y ) = å å y j p(xi , y j ) =å y j p( y j ); |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i=1 |
|
j 1 |
|
= |
|
j |
1 |
|
|
|
|
= |
|
|||||||
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D( X ) = å[xi - M ( X )]2 p=(xi ) |
åå[xi - M ( X )]2 p(xi , y j ); |
|
||||||||||||||||||||||
|
i=1 = |
= |
|
|
|
|
|
i 1 |
j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
D(Y ) = å |
é |
|
|
ù |
p(=y j ) |
|
|
é |
ù |
|
|
|
||||||||||||
ë y j - M (Y ) |
û |
|
ååë y j |
- M (Y )û |
|
|
p(xi , y j ); |
|
||||||||||||||||
|
j=1 |
= |
= |
|
|
|
|
|
i 1 |
j |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mxy = åå(xi - M ( X )) ×( y j - M (Y )) p(xi , y j ) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
79
Продовж. табл. 2.5
Для неперервних Х і Y
+¥ +¥ |
¥ |
M ( X ) = ò ò xf ( x, y)dxdy = ò xf1 ( x)dx; |
|
-¥ -¥ |
-¥ |
+¥ +¥ |
¥ |
M (Y ) = ò ò yf ( x, y )dxdy = ò xf2 ( y)dy; |
|
-¥ -¥ |
-¥ |
+¥ |
+¥ +¥ |
D( X ) = ò [x - M ( X )]2=f 1(x)dx |
ò ò [x - M ( X )]2 f (x, y)dxdy; |
-¥ |
-¥ -¥ |
+¥ |
+¥ +¥ |
D(Y ) = ò [ y - M (Y )]2 =f2 ( y)dy |
ò ò [ y - M (Y )]2 f (x, y)dxdy; |
-¥ |
-¥ -¥ |
+¥ +¥
mxy = ò ò (x - M (X ))( y - M (Y )) f (x, y)dxdy
-¥ -¥
Приклад 2.19. Закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини ( X, Y ) задано таблицею:
Y |
Х |
2 |
5 |
8 |
p( y j ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
0,15 |
0,30 |
0,35 |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,05 |
0,12 |
0,03 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
p(xi ) |
|
0,20 |
0,42 |
0,38 |
– |
|
|
|
|
|
|
Обчислити числові характеристики
M ( X ), M (Y ), D( X ), D(Y ), s (x), s ( y).
Розв’язання
3
M ( X ) = å xi p(xi ) = 2 × 0,2 + 5 × 0,42 + 8 × 0,38 = 0,4 + 2,1 + 3,04 = 5,54;
i=1
3
M (X 2 ) = åxi2 p(xi ) = 4 ×0,2 + 25×0,42 + 64×0,38 = 0,8 +10,5 + 24,32 = 35,62;
i=1 |
|
||||
D( X ) = M ( X 2 ) - M 2 ( X ) = 35,62 - 5,542 |
= 35,62 - 30,69 = 4,93; |
||||
s ( X ) = |
|
|
|
|
2, 22; |
D( X )= 4,93= |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
M (Y ) = å y j p( y j ) = 0,4 × 0,8 + 0,8 × 0,2 = 0,32 + 0,16 = 0,48;
j =1
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
80
2
M (Y 2 ) = å y 2j p( y j ) = 0,16 × 0,8 + 0,64 × 0,2 = 0,128 + 0,128 = 0,256;
j =1
D(Y ) = M (Y 2 ) - M 2 (Y ) = 0,256 - 0,230 = 0,026; s (Y ) = 
D(Y ) =
0, 026 =0,16.
Приклад 2.20. Дана щільність розподілу ймовірності двовимірної випадкової величини (X, Y ):
ì2(x + y), |
при 0 £ y £ x £1; |
f (x, y) = í |
в інших випадках. |
î0, |
Знайти M (X ), M (Y ), D (X ), D (Y ), s (X ), s (Y ), mxy , rxy .
Розв’язання. Математичне сподівання випадкової величини Х
+ ¥ 1 x
M ( X ) = ò ò xf (x, y)dxdy = 2òò x(x + y)dxdy = 2ò xdxò(x + y)dy =
- ¥ |
|
|
|
|
|
D |
|
|
0 |
0 |
|
|||
1 |
æ |
y2 ö |
|
x |
1 3 |
3 |
3 |
|
|
1 |
3 |
|
||
|
|
|
||||||||||||
= 2òxç xy + |
|
÷ |
|
dx= 3òx =dx |
|
x= |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
è |
2 ø |
|
0 |
0 |
4 |
|
|
|
0 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Математичне сподівання випадкової величини Y |
|
|||||||||||||
+ ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
M (Y ) = ò ò yf (x, y)dxdy = 2òò y(x + y)dxdy = 2ò dxò( yx + y 2 )dy =
- ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 æ xy 2 |
y3 |
ö |
|
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
= 2ò |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
ò x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
dx = . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
ç |
|
|
3 |
|
÷ |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
è |
|
2 |
|
|
|
ø |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дисперсія випадкової величини Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D( X ) = ò ò x2 f (x, y)dxdy - [M ( X )]2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
æ |
3 ö |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ 3 |
ö |
2 |
|
|
|||||||||
= 2òò x |
|
(x + y)dxdy - ç |
|
|
÷ |
|
|
= 2ò x |
|
dxò |
(x + y)dy - ç |
|
|
÷ |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
è |
4 ø |
ö2 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 æ |
|
y 2 |
|
ö |
|
x |
æ 3 |
1 |
|
4 |
|
|
9 3 9 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2ò x |
|
|
|
|
dx - ç |
÷ = 3ò x dx - = - |
|
|
|
= . |
||||||||||||||||||||||||||||
ç xy + |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
è |
|
2 |
ø |
|
0 |
|
|
è 4 |
ø |
0 |
|
|
|
|
16 5 16 80 |
|
|||||||||||||||||||||
Дисперсія випадкової величини Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ¥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D(Y ) = ò ò y 2 f (x, y)dxdy - [M (Y )]2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
- ¥
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
81