ìa cos(x - y),

якщо

(x, y) Î D,

f (x, y) = í

якщо

(x, y) Ï D,

î0,

ì

p

p ü

де D = í(x, y) : 0

£ x £

, 0

£ y £

ý.

2

2

î

þ

Визначити a і rxy .

æ

p

p

p

ö

Обчислити P = ç

0 < x

<

,

< y <

÷.

3

6

3

è

ø

ì1 - 3-x - 3- y + 3-x-y ,

якщо

x ³ 0, y ³ 0,

F (x, y) = í

якщо

x < 0, y < 0.

î0,

-M 2 (X /Y = y j )

1

m

(X / Y = y j ); (2.39)

=

åxi2 p(xi , y j ) - M 2

p( y j ) i=1

D(Y / X = xi ) = å y 2j p(y j / xi )- M

2 (Y / X = xi ) = å y 2j

p( y j , xi ) -

n

n

j =1

j =1

p(xi )

- M 2 (Y / X = xi

)=

1

n

å y 2j p(xi , y j ) - M 2 (Y / X = xi ); (2.40)

p(xi )

j =1

· умовні середні квадратичні відхилення:

s (X /Y = y j )

; =

D (=X /Y

y j )

(2.41)

s (Y / X = xi )

. =

D (Y=/ X

xi )

(2.42)

Приклад 2.21. Закон розподілу двовимірної випадкової величини

( X, Y ) задано таблицею

Х

1

2

4

p( y j )

Y

0

0,1

0

0,1

0,2

2

0

0,3

0,3

0,6

5

0,2

0

0

0,2

p(xi )

0,3

0,3

0,4

–

Обчислити M (X / Y = 2),

M (Y / X = 4), s ( X / Y = 2),

M (Y / X = 4).

Розв’язання

1

3

M ( X / Y = 2) =

åxi p(xi , y2 ) =

1

p( y2 ) i =1

1,8

=

(1× 0 + 2 × 0,3 + 4 × 0,3) =

= 3;

0,6

0,6

1

3

D( X / Y = 2) =

åxi2 p(xi , y2 ) - M 2 ( X / Y = 2) =

p( y2 )

1

i=1

6

=

(12 × 0 + 22 × 0,3 + 42 × 0,3) - 32 =

- 9 = 10 - 9 = 1;

0,6

0,6

s ( X / Y = 2) =

=

= 1;

D( X / Y = 2)

1

1

3

M (Y / X = 4) =

å y j p( y j , x3 ) =

p(x3 ) j=1

=

1

(0 × 0,1 + 2 × 0,3 + 5 × 0) =

0,6

= 1,5;

0,4

0,4

1

3

M (Y / X = 4) =

å y j p( y j , x3 ) - M 2 (Y / X = 4) =

p(x3 )

j =1

=

1

(0 × 0,1 + 4 × 0,3 + 25 × 0) - (1,5)2 =

1,2

- 2,25 = 3 - 2,25 = 0,75;

0,4

0,4

¥

M ( X / Y = y) = ò xj(x / y)dx,

(2.43)

-¥

¥

M (Y / X = x) = ò xy ( y / x)dy;

(2.44)

-¥

· умовні дисперсії:

¥

D( X / Y = y) = ò x2j(x / y)dx - M 2 ( X / Y = y),

(2.45)

-¥

¥

D(Y / X = x) = ò y2y ( y / x)dy - M 2 (Y / X = x);

(2.46)

-¥

· умовні середні квадратичні відхилення:

s (X / Y = y) =

;

(2.47)

D(X / Y = y)

s(Y / X = x) =

.

(2.48)

D(Y / X = x)

Умовне математичне сподівання випадкової величиниY при за-

даному X = x : M (Y / X = x) = f (x)

називається регресією Y на

Х;

аналогічно M ( X / Y = y) = g( y) називається регресією Х на Y.

Графіки цих функцій відх і у

називаються лініями регресії,

або

“кривими регресії” Y на Х і Х на Y відповідно.

Приклад 2.22. Щільність сумісного розподілу системи випадкових

величин ( X, Y ) задана функцією

f (x, y) =

1

e-x2 -y2 ,

- ¥ < x, y < ¥.

p

¥

1

¥

e-x

2

¥

1

f1 (x) = ò f (x, y)dy =

òe-x2 - y2 dy =

òe- y2 dy =

e-x2 ;

p

p

-¥

-¥

-¥

p

¥

1

¥

e- y

2

¥

1

f 2 ( y) = ò f (x, y)dx =

òe-x2 - y2 dx =

òe-x2 dx =

e- y2 ;

p

p

-¥

-¥

-¥

p

¥

(ми використали інтеграл Пуассона òe-x2 dx =

).

p

-¥

f (x, y)

1

e-x2 - y 2

1

j(x / y) =

=

p

=

e-x2 ;

1

f1 (x)

e- y 2

p

p

f (x, y)

1

e-x2 - y 2

1

y ( y / x) =

=

p

=

e- y2 .

1

f 2 ( y)

e-x2

p

p

¥

1

1

¥

M ( X / Y = y) = ò x

e-x2 dx =

òe-x2 d (-x2 ) =

2 p

-¥

p

-¥

1

e-x2

¥

1

(e-¥ - e-¥ )= 0.

= -

= -

2 p

-¥

2

p

¥

1

e- y2 dy = 0 (обчислення аналогічне).

M (Y / X = x) = ò

y

p

-¥