Приклад 1.3. Скількома способами можна розставити на одній полиці 6 різних книг?

Розв’язання. Шукане число способів дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто P6 = 6!=1× 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720.

10

Комбінацією (сполукою) з п елементів по т називається довільна підмножина з т елементів з множини М. Порядок елементів у комбінаціях неістотний. Число комбінацій з п елементів по т(m £ n) знаходиться за формулою

Умовимось, що 0! = 1.

Приклад 1.4. У бригаді з25 чоловік потрібно вибрати чотирьох для роботи на певній ділянці. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Оскільки порядок вибраних чотирьох чоловік не має значення, то це можна зробити C254 способами. За формулою (1.3) знаходимо

Питання для самоконтролю

1.Що таке комбінаторика?

2.Які задачі вважаються комбінаторними?

3.Дати означення:

а) перестановки з п елементів; б) розміщення з п по т елементів; в) комбінації з п по т елементів.

4.Записати формули для обчислення числа: а) перестановок з п елементів; б) розміщень з п по т елементів; в) комбінацій з п по т елементів.

5.Чого більше – розміщень чи комбінацій з п по т елементів?

Вправи

1.Скількома способами можна скласти список із15 студентів групи?

2.Скількома способами 6 осіб можна розмістити за круглим столом?

3.Скількома способами можна призначити трьох осіб на три різні посади з 8 кандидатів на них?

4.Скільки можна утворити телефонних номерів, кожен з яких містить п’ять різних цифр (номер не може починатися з нуля)?

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

11

5.У банку працюють 15 співробітників, три з яких не мають потрібної кваліфікації. Скільки можна скласти списків:

а) із 8 співробітників; б) із 6 кваліфікованих співробітників?

6.Правління підприємства складається з 9 осіб. Скількома способами можна вибрати:

а) три особи у відрядження; б) президента, директора та комерційного директора?

7.На книжковій полиці вміщується10 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розташувати так, щоб:

а) томи 1 і 2 стояли поруч; б) томи 3 і 4 не стояли поруч?

8.Вісім груп навчається в десяти розміщених поряд аудиторіях. Скільки існує варіантів розміщення груп в аудиторіях, при яких:

а) групи № 1 і 2 знаходитимуться в сусідніх аудиторіях; б) групи № 5 і 7 знаходитимуться не в сусідніх аудиторіях.

9.Скількома способами з 12 учасників змагань можна скласти: а) команду з чотирьох осіб; б) 3 групи по 4 особи?

1.2. ЙМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВОЇ ПОДІЇ. СПОСОБИ ОБЧИСЛЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ

1. Класичне означення ймовірності

Розглянемо скінченний простір елементарних подій

W = {w1 , w2 , ..., wn }, де w1 , w2 , ..., wn – попарно несумісні і рівноможливі елементарні події. Нехай деякій події А сприяє т із п елементарних подій простору W.

Ймовірністю випадкової події А називається відношення числа результатів випробування, сприятливих для А, до числа всіх рівноможли-

Властивості ймовірності:

1.Для кожної події A Ì W справджується нерівність 0 £ P( A) £ 1.

2.Ймовірність достовірної події дорівнює 1, P(W) = 1.

3.Ймовірність неможливої події дорівнює нулю, Р(Ø) = 0.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

12

Приклад 1.5. Учасники жеребкування тягнуть з ящика жетони з номерами від 1 до 100. Яка ймовірність того, що номер навмання витягнутого жетона не містить цифри 5?

Розв’язання. А – вибір жетона з номером, що не містить цифри5; n = 100, m = 100 -19 = 81, бо 19 жетонів містять цифру 5.

P( A) = m = = 81 . n 100

Приклад 1.6. В урні 5 білих і 7 чорних куль. З урни навмання беруть шість куль. Знайти ймовірність того, що:

1)всі шість куль чорні(подія А);

2)чотири кулі чорні і дві білі(подія В).

Розв’язання

1)число всіх елементарних подій дорівнює числу комбінацій з12 по 6, тобто C126 . Знаходимо число сприятливих подій. 6 чорних куль можна вибрати з 7 чорних m = C76 способами. Тому шукана ймовірність дорівнює

2)як і в 1), n = C126 . Знаходимо число сприятливих подій. 2 білі кулі можна вибрати з 5 білих C52 способами, а 4 чорних із 7 чорних –

C74 способами. За правилом множення одержимо C52 C74 . Маємо

2. Статистична ймовірність

Нехай А – випадкова подія, пов’язана з деяким дослідом. Повторимо дослід п разів за одних і тих же умов, і нехай при цьому подіяА з’явилась т разів.

Відношення m числа дослідів, в яких подія А з’явилась до загально- n

го числа п проведених дослідів, називається частотою події А

W ( A) = m . n

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

13

Частоту можна знайти тільки після проведення випробувань. У багатьох випадках відносна частота події А стабілізується при великому п. Такі події називаються статистично стійкими.

Приклад 1.7. Відділ технічного контролю виявив5 бракованих книг у партії з випадково відібраних100 книг. Знайти відносну частоту появи бракованих книг.

3. Геометрична ймовірність

Нехай Ω – деяка область на прямій, площині або в просторі, А – деяка частина області Ω. В області Ω навмання вибирають точку, вважаючи, що вибір точок області рівноможливий. Ймовірність того, що вибрана точка належить А, визначається рівністю

mes W

де mes A, mes W – міра (довжина, площа, об’єм) А, Ω.

Приклад 1.8. Статутний фонд банку– а грош. од. – був випадковим чином поділений на три частини, в результаті чого створено три нові банки. Знайти ймовірність того, що жоден із банків не припинить свого існування, якщо для їх роботи необхідний статутний фонд не ме-

випадковим поділом відрізка на три частини розумітимемо його поділ двома точками, кожна з яких має на даному відрізку рівномірний розподіл.

ìx + y £ a,

ï

Область можливих наслідків D = íx ³ 0,

ïîy ³ 0. ìx ³ b,

ï

Область сприятливих наслідків D1 = íy ³ b,

ïîa - x - y ³ b.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

14