набула значення y j , а через p( y j / xi ) – умовну ймовірність того, що випадкова величина Y набуде значення y j за умови, що випадкова величина Х набула значення xi .

Ймовірності p(xi / y j ) і p( y j / xi ) обчислюємо за формулами:

Умовним законом розподілу складової Х двовимірної дискретної випадкової величини ( X ,Y ) за фіксованого значення складовоїY = y j

називається перелік усіх можливих значень xi випадкової величини Х та відповідних їм умовних ймовірностей p(xi / y j ).

Умовним законом розподілу складової Y двовимірної дискретної випадкової величини ( X ,Y ) за фіксованого значення X = xi називається перелік усіх можливих значень y j випадкової величини Y та відповідних їм умовних ймовірностей p( y j / xi ).

Умовні закони розподілу складових Х і Y двовимірної дискретної випадкової величини ( X, Y ) записують, відповідно, у вигляді таб-

лиць 2.3, 2.4.

Таблиця 2.3

Висновок: знаючи безумовні закони розподілу складових Х іY та умовний закон розподілу однієї з них, можна скласти закон розподілу двовимірної дискретної випадкової величини ( X, Y ). Ймовірності

p(xi , y j ) можливих її значень (xi , y j ) обчислюємо за формулами:

p(xi , y j ) = p( y j ) × p(xi / y j ), p( y j , xi ) = p(xi ) × p( y j / xi ).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

68

Приклад 2.16. Дискретна двовимірна випадкова величина ( X, Y ) задана таблицею:

f (x, y) – щільність її сумісного розподілу. Як уже зазначалося, закони розподілу складових Х і Y визначаються рівностями:

двовимірної неперервної величини ( X, Y ) за фіксованого значення Y = y

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

69

називається відношення щільності f (x, y) її сумісного розподілу до щільності f 2 ( y) складової Y:

вимірної неперервної величини ( X, Y ) за фіксованого значення X = x називається відношення щільності f (x, y) її сумісного розподілу до щільності f1 (x) складової Х:

Умовна щільність розподілу ймовірностей складової двовимірної неперервної випадкової величини визначає її умовний закон розподілу.

Звідси маємо висновок: знаючи щільність розподілів складових Х і Y та умовну щільність розподілу однієї з них, можемо обчислити щільність розподілу двовимірної неперервної випадкової величини ( X, Y ) за формулами:

f (x, y) = f 2 ( y) ×j(x / y); f (x, y) = f1 (x) × Y( y / x).

Залежні та незалежні випадкові величини

При визначенні систем випадкових величин велику увагу приділяють степеню і характеру їх залежності.

Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, якого значення набула інша.

Із цього означення випливає, що умовні розподіли незалежних величин дорівнюють їх безумовним розподілам, тобто:

·j(x / y) = f1 (x), Y(y / x) = f2 (y) – для незалежних випадкових величин;

·j(x / y) ¹ f1 (x), Y(y / x) ¹ f2 (y) – для залежних випадкових величин.

Теорема. Для того щоб неперервні випадкові величиниХ і Y були незалежними, необхідно і досить, щоб функція розподілу системи(Х, Y ) дорівнювала добутку функцій розподілу складових:

F (x, y) = F1(x) × F2 ( y).

Наслідок. Для того щоб неперервні випадкові величиниХ і Y були незалежними, необхідно і досить, щоб щільність сумісного розподілу системи (Х, Y ) дорівнювала добутку щільностей розподілу складових

f (x, y) = f1(x) × f2 ( y).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

70

У випадку, коли Х і Y – дві незалежні дискретні випадкові величини, то необхідна і достатня умова незалежностіХ і Y виражається системою рівностей:

З’ясувати, чи випадкові величини Х і Y незалежні.

Розв’язання. Нагадаємо, що у внутрішніх клітинах таблиці містяться ймовірності p(xi , y j ), які визначають сумісний розподіл двох

випадкових величин Х і Y , а останній рядок та останній стовпець характеризують одновимірні розподіли компонент Х і Y відповідно.

У цій таблиці p(x1, y1) = 0,02, p(x1) = 0,10, p( y1) = 0,20, тому: p(x1 , y1 ) = p(x1 ) × p( y1 ); p(x1, y2) = 0,05, p(x1) =0,10, p( y2) =0,32, тому: p(x2 , y1) ¹ p(x1) × p(y2 ) і випадкові величини Х і Y залежні.

Приклад 2.18. Двовимірна неперервна випадкова величина ( X, Y ) задана щільністю:

Довести, що Х і Y залежні.

Розв’язання. Випадкові величини Х і Y будуть залежними, якщо їх безумовні та умовні щільності нерівні. Щільність розподілу випадкової величини Х

f1 (x) = 0 для | x |> 5.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

71