- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Топологічні добутки.
Нехай EіF– топологічні простори. МножинаEFвизначається як множина пар (p, q), деpE, aqF. Вона перетворюється в топологічний простір у такий спосіб: якщо (p, q)EF, то окіл точки (p,q) – це будь-яка множина, що містить множину видуUV, деU- окіл точкиpвE, aV– околицяqвF.
Визначення. МножинаEF, перетворене в топологічний простір тільки що описаним способом, називаєтьсятопологічним добутком просторів E і F.
Наприклад, у тривимірному евклідовому просторі тор є топологічним добутком кола на себе.
Зв’язність.
Визначення.ПростірEназиваєтьсязв'язним,якщо його не можна представити у вигляді об'єднання двох непустих множин, що не перетинається вE. Множина в топологічному просторі називаєтьсязв'язною, якщо воно зв'язна як підпростір.
Якщо ЕиF– зв'язні простору, то добутокЕFтакож складно.
Компактність.
Поняття компактності узагальнює властивість бути замкнутою й обмеженою множиною в евклідовому просторі.
Визначення.Топологічний простір називаєтьсяхаусдорфовим, якщо він має наступну властивість: які б не були дві різні точкиpіq, існує така окілUточкиpі такий окілVточкиq, щоUV=.
Будь-який евклідовий простір є хаусдорфовим.
Будь-який підпростір евклідового простору хаусдорфовий. Насправді будь-який підпростір будь-якого хаусдорфового простору хаусдорфовий.
Перш ніж визначати компактність, наведемо кілька попередніх визначень.
Визначення.Покриття топологічного просторуE– набір множин зE, об'єднання яких дає весь простірE. Воно називаєтьсявідкритим покриттям, якщо кожна множина в наборі відкрито.
Визначення.Нехай дане покриття топологічного простору.Підпокриттям називається покриття, всі множини якого належать даному покриттю.
Визначення.Компактним простором називається хаусдорфів простір, що володіє тою властивістю, що кожне його відкрите покриття містить скінченне підпокриття, тобто покриття, що складається зі скінченного числа множин. Множина в топологічному просторі називаєтьсякомпактною, якщо вона є компактним підпростором.
Компактна підмножина евклідового простору повинна бути замкнутою і обмеженою. Якщо компактні простори, що перемножують, AіBлежать в евклідових просторах розмірностейm і n, то їх добуток є підпростір вn+m-мірному просторі. Тому що просториAіBкомпактні, вони замкнуті й обмежені. Тому їхній добуток є замкнутою й обмеженою підмножиною евклідового простору. Отже, AB компактний.
Зміст КВМ Частина 2.
Зміст КВМ Частина 3.
Зміст КВМ Частина 4.
Зміст:
Комплексні числа.
Тригонометрична форма комплексного числа.
Дії з комплексними числами.
Формула Муавра.
Показникова форма комплексного числа.
Рівняння Ейлера.
Розклад багаточлена на множники.
Теорема Безу.
Основна теорема алгебри.
Лінійна алгебра. Основні визначення.
Основні дії над матрицями.
Транспонована матриця.
Визначники.
Додатковий мінор.
Елементарні перетворення.
Мінори.
Алгебраїчні доповнення.
Обернена матриця.
Базовий мінор матриці.
Ранг матриці.
Еквівалентні матриці.
Теорема про базовий мінор.
Матричний метод розв’язання систем рівнянь.
Метод Крамера.
Розв’язання довільних систем рівнянь.
Сумісні системи.
Визначені системи.
Однорідна система.
Елементарні перетворення систем рівнянь.
Теорема Кронекера-Капеллі.
Метод Гауса.
Аналітична геометрія.
Елементи векторної алгебри.
Колінеарні вектори.
Компланарні вектори.
Лінійні операції над векторами.
Властивості векторів.
Базис.
Лінійна залежність векторів.
Система координат.
Ортонормований базис.
Лінійні операції над векторами в координатах.
Скалярний добуток векторів.
Векторний добуток векторів.
Мішаний добуток векторів.
Рівняння поверхні в просторі.
Загальне рівняння площини.
Рівняння площини, що проходять через 3 точки.
Рівняння площини за 2 точками і вектором, колінеарним площині.
Рівняння площини за точкою та 2-ма векторами, колінеарним площині.
Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.
Рівняння площини у відрізках.
Рівняння площини у векторній формі.
Відстань від точки до площини.
Аналітична геометрія на площині.
Рівняння лінії на площині.
Рівняння прямої на площині.
Загальне рівняння прямої.
Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.
Рівняння прямої, що проходить через 2 точки.
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.
Рівняння прямої за точкою та напрямним вектором.
Рівняння прямої у відрізках.
Нормальне рівняння прямої.
Кут між прямими на площині.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
Відстань від точки до прямої на площині.
Криві другого порядку.
Коло.
Еліпс.
Фокуси.
Ексцентриситет.
Директриси.
Гіпербола.
Ексцентриситет гіперболи.
Директриси гіперболи.
Парабола.
Полярна система координат.
Аналітична геометрія в просторі.
Рівняння лінії в просторі.
Рівняння прямої за точкою і напрямним вектором.
Параметричне рівняння прямої.
Напрямні косинуси.
Кутовий коефіцієнт.
Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
Загальні рівняння прямої.
Кут між площинами.
Умови паралельності і перпендикулярності площин.
Кут між прямими.
Умови паралельності і перпендикулярності прямих.
Кут між прямою и площиною.
Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини.
Поверхні другого порядку.
Циліндричні поверхні.
Поверхні обертання.
Сфера.
Тривісний еліпсоїд.
Однопорожнинний гіперболоїд.
Двопорожнинний гіперболоїд.
Еліптичний параболоїд.
Гіперболічний параболоїд.
Конус другого порядку.
Циліндрична та сферична системи координат.
Зв’язок циліндричної та декартової систем координат.
Зв’язок сферичної та декартової системи координат.
Лінійний (векторний) простір.
Властивості лінійних просторів.
Лінійні перетворення.
Матриці лінійних перетворень.
Власні значення і власні вектори лінійних перетворень.
Характеристичне рівняння.
Власний напрямок.
Перетворення подібності.
Квадратичні форми.
Визначник квадратичної форми.
Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
Вступ до математичного аналізу.
Числова послідовність.
Обмежені і необмежені послідовності.
Границя.
Монотонні послідовності.
Число е.
Зв’язок натурального та десяткового логарифмів.
Границя функції в точці.
Однобічні границі.
Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
Основні теореми про границі.
Обмежені функції.
Нескінченно малі функції.
Властивості нескінченно малих функцій.
Нескінченно великі функції та їх зв’язок з нескінченно малими.
Порівняння нескінченно малих функцій.
Властивості еквівалентних нескінченно малих функцій.
Деякі визначні границі.
Неперервність функції в точці.
Розривна функція.
Неперервна функція.
Властивості неперервних функцій.
Неперервність деяких елементарних функцій.
Точки розриву та їх класифікація.
Неперервність функції на інтервалі та на відрізку.
Властивості функцій, неперервних на відрізку.
Рівномірно неперервні функції.
Елементи вищої алгебри.
Основні поняття теорії множин.
Операції над множинами.
Відношення.
Бінарні відношення.
Властивості бінарних відношень.
Алгебраїчні структури.
Група.
Ізоморфізм.
Абелева група.
Кільце.
Поле.
Дискретна математика.
Елементи комбінаторики.
Перестановки.
Розміщення.
Сполучення.
Біном Ньютона.
Елементи математичної логіки.
Основні еквівалентності.
Булеві функції.
Предикати і квантори.
Графи та сіті. Основні визначення.
Матриці графів.
Досяжність та зв’язність.
Ейлерові та гамільтонові графи.
Дерева та цикли.
Елементи топології.
Метричний простір.
Відкриті та замкнуті множини.
Неперервні відображення.
Гомеоморфізм.
Топологічний добуток.
Зв’язність.
Компактність.