Рівняння прямої у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні прямоїАх+Ву+С= 0,С0, то, розділивши на –С, одержимо:або

, де

Геометричний зміст коефіцієнтів у тім, що коефіцієнт ає координатою точки перетину прямої з віссюОх, аb– координатою точки перетину прямої з віссюОу.

Приклад.Задано загальне рівняння прямійх–у+ 1 = 0. Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.

С= 1,,а= –1,b= 1.

Нормальне рівняння прямої.

Якщо обидві частини рівняння Ах+Ву+С= 0 розділити на число, що називаєтьсянормуючим множником, то одержимо

xcos+ysin–p= 0 –

нормальне рівняння прямої.

Знак нормуючого множника треба вибирати так, щобС< 0.

р– довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а– кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осіОх.

Приклад.Дано загальне рівняння прямій 12х– 5у– 65 = 0. Потрібно написати різні типи рівнянь цій прямій.

рівняння цієї прямої у відрізках:

рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)

нормальне рівняння прямої:

; cos= 12/13; sin= –5/13; p = 5.

Слід відзначити, що не кожну пряму можна представити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі, паралельні осям або такі, що проходять через початок координат.

Приклад.Пряма відтинає на координатних осях рівні позитивні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа трикутника, утвореного цими відрізками дорівнює 8дм².

Рівняння прямої має вигляд: ,a=b= 1;ab/2 = 8;a= 4; –4.

a= –4 не підходить по умові задачі.

Разом: абох+у– 4 = 0.

Приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через точкуА(–2, –3) і початок координат.

Рівняння прямої має вигляд: , дех₁=у₁= 0;x₂= –2;y₂= –3.

Для самостійного розв’язання:Скласти рівняння прямих, що проходять через точку М(–3, –4) і паралельних осям координат.

Відповідь: { x+ 3 = 0;y+ 4 = 0}.

Кут між прямими на площині.

Визначення.Якщо задані дві пряміy=k₁x+b₁,y=k₂x+b₂, то гострий кут між цими прямими буде визначатися як

.

Дві прямі паралельні, якщо k₁=k₂.

Дві прямі перпендикулярні, якщо k₁= –1/k₂.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А₁х + В₁у + С₁ = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А₁ = А, В₁ = В. Якщо ще й С₁ = С, те прямі збігаються.

Координати точки перетину двох прямих є як розв’язками системи двох рівнянь.

Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.

Визначення.Пряма, що проходить через точкуМ₁(х₁,у₁) і перпендикулярна до прямоїу=kx+bпредставляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої.

Теорема.Якщо задано точку М(х₀, у₀), то відстань до прямій Ах + Ву + С =0 визначається як

.

Доведення.Нехай точкаМ₁(х₁,у₁) – основа перпендикуляра, опущеного із точкиМна задану пряму. Тоді відстань між точкамиМиМ₁:

(1)

Координати x₁іу₁можуть бути знайдені як розв’язки системи рівнянь:

Друге рівняння системи – це рівняння прямої, що проходить через задану точку М₀перпендикулярно заданої прямої.

Якщо перетворити перше рівняння системи до виду:

A(x–x₀) +B(y–y₀) +Ax₀+By₀+C= 0,

то, розв’язуючи, одержимо:

Підставляючи ці вирази в рівняння (1), знаходимо:

.

Теорему доведено.

Приклад.Визначити кут між прямими:y= –3x+ 7;y= 2x+ 1.

k₁= –3;k₂= 2 tg=;=/4.

Приклад.Показати, що прямі 3х– 5у+ 7 = 0 і 10х+ 6у– 3 = 0 перпендикулярні.

Знаходимо: k₁= 3/5,k₂= –5/3,k₁k₂= –1, отже, прямі перпендикулярні.

Приклад.Дано вершини трикутникаА(0; 1),B(6; 5),C(12; –1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершиниС.

Знаходимо рівняння сторони АВ:; 4x= 6y– 6;

2x– 3y+ 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax+By+C= 0 абоy=kx+b.

k=. Тодіy=. Оскільки висота проходить через точкуС, то її координати задовольняють даному рівнянню:звідкиb= 17. Разом:.

Відповідь: 3x+ 2y– 34 = 0.

Для самостійного розв’язання:Дані сторони трикутникаx+y– 6 = 0,

3x– 5y+ 15 = 0, 5x– 3y– 14 = 0. Скласти рівняння його висот.

Вказівка:Спочатку варто знайти координати вершин трикутника, як точок перетину сторін, потім скористатися методом, розглянутому в попередньому прикладі.

Відповідь:{x–y= 0; 5x+ 3y– 26 = 0; 3x+ 5y– 26 = 0}.