Криві другого порядку.

Крива другого порядку може бути задана рівнянням

Ах²+ 2Вху+Су²+ 2Dx+ 2Ey+F= 0.

Існує система координат (не обов'язково декартова прямокутна), у якій дане рівняння може бути представлене в одному з виглядів, наведених нижче.

1. – рівняння еліпса.

2. – рівняння “уявного” еліпса.

3. – рівняння гіперболи.

4. a²x²–c²y²= 0 – рівняння двох прямих, що перетинаються.

5. y²= 2px– рівняння параболи.

6. y²–a²= 0 – рівняння двох паралельних прямих.

7. y²+a²= 0 – рівняння двох “уявних” паралельних прямих.

8. y²= 0 – пари співпадаючих прямих.

9. (x–a)²+ (y–b)²=R²– рівняння кола.

Коло.

У кола (x–a)²+ (y–b)²=R²центр має координати (a;b).

Приклад.Знайти координати центра і радіус кола, якщо її рівняння задане у вигляді:

2x²+ 2y²– 8x+ 5y– 4 = 0.

Для знаходження координат центра й радіуса окружності дане рівняння необхідно привести до вигляду, зазначеному вище у п.9. Для цього виділимо повні квадрати:

x²+y²– 4x+ 2,5y– 2 = 0

x²– 4x+ 4 –4 +y²+ 2,5y+ 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x– 2)²+ (y+ 5/4)²– 25/16 – 6 = 0

(x– 2)²+ (y+ 5/4)²= 121/16

Звідси знаходимо О(2; –5/4);R= 11/4.

Еліпс.

Визначення.Еліпсомназивається лінія, задана рівнянням.

Визначення. Фокусами називаються такі дві точки, сума відстаней від яких до будь-якої точки еліпса є постійна величина.

у

М

r₁

r₂

F₁OF₂х

F₁,F₂– фокуси.F₁= (c; 0);F₂(–c; 0)

с– половина відстані між фокусами;

a– велика піввісь;

b– мала піввісь.

Теорема.Фокусна відстань і півосі еліпса пов'язані співвідношенням:

a² = b² + c².

Доведення:У випадку, якщо точкаМперебуває на перетині еліпса з вертикальною віссю,r₁ + r₂= 2(за теоремою Піфагора). У випадку, якщо точкаМперебуває на перетині еліпса з горизонтальною віссю,r₁ + r₂ = a – c + a + c.Оскільки за визначенням сумаr₁ + r₂– стала величина, то, прирівнюючи, одержуємо:

a² = b² + c²

r₁ + r₂ = 2a.

Визначення.Форма еліпса визначається характеристикою, що є відношенням фокусної відстані до більшої осі й називаєтьсяексцентриситетом.

е=с/a.

Оскільки с<a, тое< 1.

Визначення.Величинаk=b/aназиваєтьсякоефіцієнтом стиску еліпса, а величина 1 –k= (a–b)/aназиваєтьсястиском еліпса.

Коефіцієнт стиску й ексцентриситет пов'язані співвідношенням: k²= 1 –e².

Якщо a=b(c= 0,e= 0, фокуси зливаються), то еліпс перетворюється в окружність.

Якщо для точки М(х₁,у₁) виконується умова:, то вона перебуває всередині еліпса, а якщо, то точка перебуває поза еліпсом.

Теорема.Для довільної точки М(х, у), що належить еліпсу вірні співвідношення:

r₁=a–ex,r₂=a+ex.

Доведення.Вище було показано, щоr₁+r₂= 2a. Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

Після піднесення у квадрат і приведення подібних доданків:

Аналогічно доводиться, що r₂=a+ex.Теорему доведено.

Зеліпсом пов'язано дві прямі, названідиректрисами. Їх рівняння:

x=a/e;x= –a/e.

Теорема.Для того, щоб точка лежала на еліпсі, необхідно й достатньо, щоб відношення відстані до фокуса до відстані до відповідної директриси було рівним ексцентриситету е.

Приклад.Скласти рівняння прямої, що проходить через лівий фокус і нижню вершину еліпса, заданого рівнянням:

1. Координати нижньої вершини: x= 0;y²= 16;y= –4.

2. Координати лівого фокуса: c²=a²–b²= 25 – 16 = 9;c= 3;F₂(–3; 0).

3. Рівняння прямої, що проходить через дві точки:

Приклад.Скласти рівняння еліпса, якщо його фокусиF₁(0; 0),F₂(1; 1), велика вісь дорівнює 2.

Рівняння еліпса має вигляд: . Відстань між фокусами:

2c = , таким чином,a²–b²=c²= 1/2

за умовою 2а= 2, отжеа= 1,b=

Отже: .