Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике.doc
Скачиваний:
89
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.

Визначення.Функціяf(x) називаєтьсянеперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).

При цьому не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна тільки однобічна неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.

Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Властивість 1:(Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815–1897) – німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [a,b] виконується умова.

Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х0, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [a,b] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точких0, то утвориться деякий окіл точких0.

Властивість 2:Функція, неперервна на відрізку [a,b], приймає наньомунайбільше й найменше значення.

Тобто існують такі значення х1іх2, щоf(x1) =m,f(x2) =M, причем

Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад – f(x) = sinx).

Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.

Властивість 3:(Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [a,b], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.

Властивість 4:Якщо функціяf(x) неперервна в точціх=х0, то існує деякий окіл точких0, у якій функція зберігає знак.

Властивість 5:(Перша теорема Больцано(1781–1848)-Коші). Якщо функціяf(x) – неперервна на відрізку [a,b] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, деf(x) = 0.

Тобто, якщо sign(f(a))sign(f(b)), тох0:f(x0) = 0.

Визначення.Функціяf(x) називаєтьсярівномірно неперервноюна відрізку [a,b], якщо для кожного> 0 існує> 0 таке, що для будь-яких точокх1[a, b] іx2[a, b] таких, що

х2х1<

вірна нерівність f(x2) –f(x1)<

Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного існує своє, що не залежить відх, а при “звичайній” неперервностізалежить відіх.

Властивість 6:Теорема Кантора (Кантор Георг (1845–1918) – німецький математик). Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.

(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів і напівінтервалів.)

Приклад.

Функція неперервна на інтервалі (0,а), але не є на ньому рівномірно неперервної, тому що існує таке число>0 таке, що існують значеннях1іх2такі, щоf(x1) –f(x2)>,– будь-яке число за умови, щох1іх2близькі до нуля.

Властивість 7:Якщо функціяf(x) визначена, монотонна й неперервна на деякому проміжку, то й обернена їй функціях=g(y) теж однозначна, монотонна й неперервна.

Приклад.Досліджувати на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х= –1 функція неперервна в точціх= 1 точка розриву 1-го роду

у

3

2

–4 –1 0 1 х

Приклад.Дослідити на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.

у точці х= 0 функція неперервна в точціх= 1 точка розриву 1-го роду

у

2

1

––/2 0 1x

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.