- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
Визначення.Функціяf(x) називаєтьсянеперервною на інтервалі (відрізку), якщо вона неперервна в будь-якій точці інтервалу (відрізка).
При цьому не потрібна неперервність функції на кінцях відрізка або інтервалу, необхідна тільки однобічна неперервність на кінцях відрізка або інтервалу.
Властивості функцій, неперервних на відрізку.
Властивість 1:(Перша теорема Вейєрштраса (Вейерштрас Карл (1815–1897) – німецький математик)). Функція, неперервна на відрізку, обмежена на цьому відрізку, тобто на відрізку [a,b] виконується умова.
Доведення цієї властивості засноване на тому, що функція, неперервна в точці х0, обмежена в деякому її околі, а якщо розбивати відрізок [a,b] на нескінченну кількість відрізків, які “стягаються” до точких0, то утвориться деякий окіл точких0.
Властивість 2:Функція, неперервна на відрізку [a,b], приймає наньомунайбільше й найменше значення.
Тобто існують такі значення х1іх2, щоf(x1) =m,f(x2) =M, причем
Відзначимо, що ці найбільші й найменші значення функція може приймати на відрізку й кілька разів (наприклад – f(x) = sinx).
Різниця між найбільшим і найменшим значенням функції на відрізку називається коливанням функції на відрізку.
Властивість 3:(Друга теорема Больцано-Коші). Функція, неперервна на відрізку [a,b], приймає на цьому відрізку всі значення між двома певними величинами.
Властивість 4:Якщо функціяf(x) неперервна в точціх=х0, то існує деякий окіл точких0, у якій функція зберігає знак.
Властивість 5:(Перша теорема Больцано(1781–1848)-Коші). Якщо функціяf(x) – неперервна на відрізку [a,b] і має на кінцях відрізка значення протилежних знаків, то існує така точка усередині цього відрізка, деf(x) = 0.
Тобто, якщо sign(f(a))sign(f(b)), тох0:f(x0) = 0.
Визначення.Функціяf(x) називаєтьсярівномірно неперервноюна відрізку [a,b], якщо для кожного> 0 існує> 0 таке, що для будь-яких точокх1[a, b] іx2[a, b] таких, що
х2–х1<
вірна нерівність f(x2) –f(x1)<
Відмінність рівномірної неперервності від “звичайної” у тім, що для кожного існує своє, що не залежить відх, а при “звичайній” неперервностізалежить відіх.
Властивість 6:Теорема Кантора (Кантор Георг (1845–1918) – німецький математик). Функція, неперервна на відрізку, рівномірно неперервна на ньому.
(Ця властивість справедлива тільки для відрізків, а не для інтервалів і напівінтервалів.)
Приклад.
Функція неперервна на інтервалі (0,а), але не є на ньому рівномірно неперервної, тому що існує таке число>0 таке, що існують значеннях1іх2такі, щоf(x1) –f(x2)>,– будь-яке число за умови, щох1іх2близькі до нуля.
Властивість 7:Якщо функціяf(x) визначена, монотонна й неперервна на деякому проміжку, то й обернена їй функціях=g(y) теж однозначна, монотонна й неперервна.
Приклад.Досліджувати на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.
у точці х= –1 функція неперервна в точціх= 1 точка розриву 1-го роду
у
3
2
–4 –1 0 1 х
Приклад.Дослідити на неперервність функцію й визначити тип точок розриву, якщо вони є.
у точці х= 0 функція неперервна в точціх= 1 точка розриву 1-го роду
у
2
1
––/2 0 1x