- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Властивості векторів.
+=+– комутативність.
+ ( +) = (+)+
+=
+(–1)=
()=( ) – асоціативність
(+)=+– дистрибутивність
(+) =+
1=
Визначення.
1)Базисому просторі називаються будь-які 3 некомпланарні вектори, узяті в певному порядку.
2) Базисомна площині називаються будь-які 2 неколінеарні вектори, узяті в певному порядку.
3) Базисомна прямій називається будь-який ненульовий вектор.
Визначення.Якщо– базис у просторі й, то числа,і– називаютьсякомпонентами або координатамивекторав цьому базисі.
У зв'язку із цим можна записати наступні властивості:
рівні вектори мають однакові координати,
при множенні вектора на число його компонента теж множаться на це число,
=.
при додаванні векторів складаються їхні відповідні компоненти.
;;
+=.
Лінійна залежність векторів.
Визначення.Векториназиваютьсялінійно залежними, якщо існує така лінійна комбінація, при не рівних нулю одночасноi, тобто.
Якщо ж тільки при i= 0 виконується, то вектори називаються лінійно незалежними.
Властивість 1.Якщо серед векторівє нульовий вектор, то ці вектори лінійно залежні.
Властивість 2.Якщо до системи лінійно залежних векторів додати один або кілька векторів, то отримана система теж буде лінійно залежна.
Властивість 3.Система векторів лінійно залежна тоді й тільки тоді, коли один з векторів розкладається в лінійну комбінацію інших векторів.
Властивість 4.Будь-які 2 колінеарні вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 2 лінійно залежні вектори колінеарні.
Властивість 5.Будь-які 3 компланарних вектори лінійно залежні й, навпаки, будь-які 3 лінійно залежні вектори компланарні.
Властивість 6.Будь-які 4 вектори лінійно залежні.
Система координат.
Для визначення положення довільної точки можуть використатися різні системи координат. Положення довільної точки в якій-небудь системі координат повинне однозначно визначатися. Поняття системи координат являє собою сукупність точки початку відліку (початку координат) і деякого базису. Як на площині, так і в просторі можливе завдання найрізноманітніших систем координат. Вибір системи координат залежить від характеру поставленої геометричної, фізичної або технічної задачі. Розглянемо деякі найбільше часто застосовувані на практиці системи координат.
Декартова система координат.
Зафіксуємо в просторі точку О и розглянемо довільну точку М.
Вектор назвемо радіус-вектором точки М. Якщо в просторі задати деякий базис, то точці М можна зіставити деяку трійку чисел – компонента її радіус-вектора.
Визначення.Декартовою системою координату просторі називається сукупність точки й базису. Точка називаєтьсяпочатком координат. Прямі, що проходять через початок координат називаютьсяосями координат.
1-я вісь – вісь абсцис
2-я вісь – вісь ординат
3-я вісь – вісь аплікат
Щоб знайти компоненти вектора потрібно з координат його кінця відняти координати початку.
Якщо задані точки А(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), то= (x2 –x1,y2–y1,z2–z1).
Визначення.Базис називаєтьсяортонормованим, якщо його вектори попарно ортогональні й дорівнюють одиниці.
Визначення.Декартова система координат, базис якої ортонормований називаєтьсядекартовою прямокутною системою координат.
Приклад.Дано вектори (1; 2; 3),(–1; 0; 3),(2; 1; –1) і(3; 2; 2) у деякому базисі. Показати, що вектори,іутворюють базис і знайти координати векторав цьому базисі.
Вектори утворять базис, якщо вони лінійно незалежні, інакше кажучи, якщо рівняння, що входять у систему:
лінійно незалежні.
Тоді .
Ця умова виконується, якщо визначник матриці системи відмінний від нуля.
. Для розв’язання цієї системи скористаємося методом Крамера.
1=
;
2=
3=
Разом, координати вектора в базисі,,:.□
Довжина вектора в координатахвизначається як відстань між точками початку й кінця вектора. Якщо задані дві точки в просторіА(х1,y1,z1),B(x2,y2,z2), то.
Якщо точка М(х,у,z)ділить відрізок АВ у співвідношенні /, то координати цієї точки визначаються як:
В окремому випадку координати середини відрізказнаходяться як: