Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.

Як відомо, будь-яка точка на площині визначається двома координатами в якій-небудь або системі координат. Системи координат можуть бути різними залежно від вибору базису й початку координат.

Визначення. Рівнянням лінії називається співвідношенняy=f(x) між координатами точок, що становлять цю лінію.

Відзначимо, що рівняння лінії може бути виражено параметричним способом, тобто кожна координата кожної точки виражається через деякий незалежний параметр t.

Характерний приклад – траєкторія точки, що рухається. У цьому випадку роль параметра грає час.

Рівняння прямої на площині.

Визначення.Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах+Ву+С= 0,

причому постійніА,Вне дорівнюють нулю одночасно, тобтоА²+В²0. Це рівняння першого порядку називаютьзагальним рівнянням прямої.

Залежно від значень сталих А,ВиСможливі наступні окремі випадки:

• C= 0,А0,В0 – пряма проходить через початок координат

• А= 0,В0,С0 {By+C= 0} – пряма паралельна осіОх

• В= 0,А0,С0 {Ax+C= 0} – пряма паралельна осіОу

• В=С= 0,А0 – пряма збігається з віссюОу

• А=С= 0,В0 – пряма збігається з віссюОх

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від яких-небудь заданих початкових умов.

Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.

Визначення.У декартовій прямокутній системі координат вектор з компонентами (А,В) перпендикулярний прямій, заданій рівняннямАх+Ву+С= 0.

Приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точкуА(1, 2) перпендикулярно вектору(3, –1).

Складемо при А= 3 іВ= –1 рівняння прямої: 3х–у+С= 0. Для знаходження коефіцієнтаСпідставимо в отриманий вираз координати заданої точкиА.

Одержуємо: 3 – 2 + C= 0, отжеС= –1.

Разом: шукане рівняння: 3х–у– 1 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через дві точки.

Нехай у просторі задані дві точкиM₁(x₁,y₁,z₁) іM₂(x_2, y₂,z₂), тоді рівняння прямої, що проходить через ці точки:

Якщо який-небудь зі знаменників дорівнює нулю, варто прирівняти нулю відповідний чисельник.

На площині записане вище рівняння прямій спрощується:

якщо х₁ х₂іх=х₁, якщох₁=х₂.

Дріб =kназиваєтьсякутовим коефіцієнтомпрямої.

Приклад.Знайти рівняння прямої, що проходить через точкиА(1, 2) іВ(3, 4).

Застосовуючи записану вище формулу, одержуємо:

Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.

Якщо загальне рівняння прямій Ах+Ву+С= 0 привести до виду:

і позначити, то отримане рівняння називаєтьсярівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.

За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі можна ввести завдання прямої через точку й напрямний вектор прямої.

Визначення.Кожний ненульовий вектор(₁,₂), компоненти якого задовольняють умові А₁+ В₂= 0 називається напрямним вектором прямоїАх+Ву+С= 0.

Приклад.Знайти рівняння прямої з напрямним вектором(1, –1), що проходить через точку А(1, 2).

Рівняння шуканої прямої будемо шукати у вигляді: Ax+By+C= 0. Відповідно до визначення, коефіцієнти повинні задовольняти умовам:

1A+ (–1)B= 0, тобтоА=В.

Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax+Ay+C= 0, абоx+y+C/A= 0. Прих= 1,у= 2 одержуємоС/A= –3, тобто шукане рівняння:

х+у– 3 = 0