Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике.doc
Скачиваний:
259
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

Метод Крамера.

(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)

Даний метод також застосуємо тільки у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається із числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.

Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0.

det A  0;

Дійсно, якщо яке-небудь рівняння системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншої, помножені на яке-небудь число, за допомогою лінійних перетворень можна одержати нульовий рядок. Визначник у цьому випадку буде дорівнює нулю.

Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система з n рівнянь із n невідомими

у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв’язок й цей розв’язок знаходиться за формулами:

xi = i/, де

= det A, а i – визначник матриці, одержаної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.

i =

Приклад.

A=;1=;2=;3=;

x1=1/detА;x2=2/detА;x3=3/detА;

Приклад.Знайти розв’язок системи рівнянь:

 == 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = – 30;

1== (28 – 48) – (42 – 32) = – 20 – 10 = – 30.

x1=1/= 1;

2== 5(28 – 48) – (16 – 56) = – 100 + 40 = – 60.

x2=2/= 2;

3== 5( 32 – 42) + (16 – 56) = – 50 – 40 = – 90.

x3=3/= 3.

Як видно, результат збігається з результатом, отриманим вищематричним методом.

Якщо система однорідна, тобто bi= 0, то при0 система має єдине нульовий розв’язокx1=x2= … =xn= 0...

При = 0 система має нескінченну множину розв’язків.

Для самостійного розв’язку:

;Відповідь: x = 0; y = 0; z = – 2.

Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.

Як було сказано вище, матричний методіметод Крамеразастосовні тільки до тих системам лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.

Визначення.Системаmрівнянь ізnневідомими в загальному виді записується в такий спосіб:

,

де aij– коефіцієнти, аbi– сталі. Розв’язками системи єnчисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.

Визначення.Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називаєтьсясумісною. Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називаєтьсянесумісною.

Визначення.Система називаєтьсявизначеною, якщо вона має тільки один розв’язок йневизначеною, якщо більше одного.

Визначення.Для системи лінійних рівнянь матриця

А=називається матрицею системи, а матриця

А*=називається розширеною матрицею системи

Визначення.Якщоb1,b2, …, bm= 0, те система називаєтьсяоднорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульовий розв’язок.

Елементарні перетворення систем.

До елементарних перетворень належать:

1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на однакове число, не рівне нулю.

2) Перестановка рівнянь місцями.

3) Видалення із системи рівнянь, що є тотожностями для всіх х.