- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Метод Крамера.
(Габріель Крамер (1704-1752) швейцарський математик)
Даний метод також застосуємо тільки у випадку систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається із числом рівнянь. Крім того, необхідно ввести обмеження на коефіцієнти системи. Необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежні, тобто жодне рівняння не було б лінійною комбінацією інших.
Для цього необхідно, щоб визначник матриці системи не дорівнював 0.
det A 0;
Дійсно, якщо яке-небудь рівняння системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншої, помножені на яке-небудь число, за допомогою лінійних перетворень можна одержати нульовий рядок. Визначник у цьому випадку буде дорівнює нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система з n рівнянь із n невідомими
у випадку, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, має єдиний розв’язок й цей розв’язок знаходиться за формулами:
xi = i/, де
= det A, а i – визначник матриці, одержаної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів bi.
i =
Приклад.
A=;1=;2=;3=;
x1=1/detА;x2=2/detА;x3=3/detА;
Приклад.Знайти розв’язок системи рівнянь:
== 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = – 30;
1== (28 – 48) – (42 – 32) = – 20 – 10 = – 30.
x1=1/= 1;
2== 5(28 – 48) – (16 – 56) = – 100 + 40 = – 60.
x2=2/= 2;
3== 5( 32 – 42) + (16 – 56) = – 50 – 40 = – 90.
x3=3/= 3.
Як видно, результат збігається з результатом, отриманим вищематричним методом.
Якщо система однорідна, тобто bi= 0, то при0 система має єдине нульовий розв’язокx1=x2= … =xn= 0...
При = 0 система має нескінченну множину розв’язків.
Для самостійного розв’язку:
;Відповідь: x = 0; y = 0; z = – 2.
Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
Як було сказано вище, матричний методіметод Крамеразастосовні тільки до тих системам лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює числу рівнянь. Далі розглянемо довільні системи лінійних рівнянь.
Визначення.Системаmрівнянь ізnневідомими в загальному виді записується в такий спосіб:
,
де aij– коефіцієнти, аbi– сталі. Розв’язками системи єnчисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.
Визначення.Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називаєтьсясумісною. Якщо система не має жодного розв’язку, то вона називаєтьсянесумісною.
Визначення.Система називаєтьсявизначеною, якщо вона має тільки один розв’язок йневизначеною, якщо більше одного.
Визначення.Для системи лінійних рівнянь матриця
А=називається матрицею системи, а матриця
А*=називається розширеною матрицею системи
Визначення.Якщоb1,b2, …, bm= 0, те система називаєтьсяоднорідною. однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульовий розв’язок.
Елементарні перетворення систем.
До елементарних перетворень належать:
1) Додавання до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на однакове число, не рівне нулю.
2) Перестановка рівнянь місцями.
3) Видалення із системи рівнянь, що є тотожностями для всіх х.