Дискретна математика. Елементи комбінаторики.

Якщо з деякої кількості елементів, різних між собою, складати різні комбінації, то серед них можна виділити три типи комбінацій, що носять загальну назву – з'єднання.

Розглянемо докладніше ці три типи з'єднань:

1)Перестановки.

Визначення.Якщо в деякій множиніпереставляти місцями елементи, залишаючи незмінною їх кількість, то кожна отримана в такий спосіб комбінація називаєтьсяперестановкою.

Загальне число перестановок зmелементів позначаєтьсяP_mі обчислюється за формулою:

2)Розміщення.

Визначення.Якщо складати зтрізних елементів групи поnелементів у кожній, розташовуючи взяті елементи у різному порядку. Комбінації, що вийшлиприцьому,називаютьсярозміщеннями зтелементів поn.

Загальне число таких розміщень розраховуються за формулою:

Загалом кажучи, перестановки є частковим випадком розміщень.

3)Сполучення.

Визначення.Якщо зтелементів складати групи попелементів у кожній, не звертаючи уваги на порядок елементів у групі, то комбінації, що вийшли при цьому,називаютьсясполученнямизтелементів поn.

Загальне число сполучень знаходиться за формулою:

Також одним з варіантів комбінацій є перестановки з повторюваними елементами.

Якщо середтелементів єт₁однакових елементів одного типу,т₂однакових елементів іншого типу і далі, то при перестановці цих елементів усілякими способами одержуємо комбінації, кількість яких визначається за формулою:

Приклад.Номер автомобіля складається із трьох літер і трьох цифр. Скільки різних номерів можна скласти, використовуючи 10 цифр і алфавіт з 30 літер.

Очевидно, що кількість всіх можливих комбінацій з 10 цифр по 4 дорівнює 10.000.

Число всіх можливих комбінацій з 30 літер по двом дорівнює . Якщо врахувати можливість того, що літери можуть повторюватися, то число повторюваних комбінацій дорівнює 30 (одна можливість повтору для кожної літери). Разом, повна кількість комбінацій по дві літери дорівнює 900.

Якщо до номера додається ще одна літера з алфавіту в 30 літер, то кількість комбінацій збільшується в 30 разів, тобто досягає 27.000 комбінацій.

Остаточно, оскільки кожній літерній комбінації можна поставити у відповідність числову комбінацію, то повна кількість автомобільних номерів дорівнює 270.000.000.

Біном Ньютона. (поліноміальна формула)

Надалібуде отримано формулу бінома Ньютона за допомогою прийомів диференціального числення.

Біном Ньютона – це формула, що виражає вираз (a + b)ⁿ у вигляді багаточлена. Ця формула має вигляд:

– числосполученьзпелементів поk.

Широко відомі формули скороченого множення квадрата суми й різниці, куба суми й різниці, є окремими випадками бінома Ньютона.

Коли ступінь бінома невисокий, коефіцієнти багаточлена можуть бути знайдені не розрахунком по формулі кількості сполучень, а за допомогою так званого трикутника Паскаля. (Блез Паскаль (1623–1662) – французький математик).

Цей трикутник має вигляд:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

…………………

Формула бінома Ньютона може бути узагальнена для довільного числа доданків.

Нагадаємо, що при обчисленнях 0! приймається рівним 1.

Приклад.У розкладаннізнайти члени, що містятьх^, якщоk=3, p=2, n=8, =9.

За формулою бінома Ньютона маємо:

З врахуванням числових значень:

В принципі, можна написати розклад цього виразу в багаточлен, визначити коефіцієнти або безпосередньо, або із трикутника Паскаля (степінь бінома порівняно невеликий), однак, робити це не обов'язково, тому що необхідно знайти тільки член розкладу, що містить х⁹.

Знайдемо число i, що відповідає цьому члену:

Знаходимо:

Приклад.У розкладізнайти члени, щомістятьx^.т=9, =6.

За узагальненою формулою бінома Ньютона одержуємо:

Для знаходження повного розкладу необхідно визначити всі можливі значення n_i, однак, це пов'язане з величезними обчисленнями. Однак, оскільки треба знайти тільки члени, що містятьх⁶, тоn₁= 6, а сума всіх чотирьох значеньпдорівнює 9. Виходить, сумап₂ + п₃ + п₄= 3.

Розглянемо можливі значення цих величин:

n2	0	0	3	1	1	0	2	0	2	1
n3	0	3	0	2	0	1	1	2	0	1
n4	3	0	0	0	2	2	0	1	1	1

Шукані члени розкладу: