Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике.doc
Скачиваний:
90
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.

Визначення.Якщо кожному натуральному числуnпоставлено у відповідність числохn, то говорять, що заданопослідовність

x1,х2, …,хn = {xn}

Загальний елемент послідовності є функцією відn.

xn=f(n)

У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.

Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.

Приклад.{xn} = {(–1)n} або {xn} = –1; 1; –1; 1; …

{xn} = {sinn/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; …

Для послідовностей можна визначити наступні операції:

  1. Множення послідовності на число m:m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, …

  2. Додавання (вирахування) послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.

  3. Добуток послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.

  4. Частка послідовностей: при {yn}0.

Обмежені й необмежені послідовності.

Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою, якщо існує таке числоМ>0, що для будь-якогоnвірне нерівність:

тобто всі члени послідовності належать проміжку (–М;M).

Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою згори, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що

Визначення.Послідовність {xn}називаєтьсяобмеженої знизу, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що

Приклад.{xn} =n– обмежена знизу {1, 2, 3, … }...

Визначення.Числоаназиваєтьсяграницеюпослідовності {xn}, якщо для будь-якого позитивного >0 існує такий номерN, що для всіхn>Nвиконується умова:

Це записується: .

У цьому випадку говорять, що послідовність {xn}збігаєтьсядоаприn.

Властивість:Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.

Приклад.Довести, що границя послідовності.

Нехай при n>Nвірно, тобто. Це вірно при, таким чином, якщо заNвзяти цілу частину від, то твердження, наведене вище, виконується.

Приклад.Показати, що приnпослідовність 3,має границею число 2.

Отже: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2

Очевидно, що існує таке число n, що, тобто.

Теорема.Послідовність не може мати більше однієї границі.

Доведення.Припустимо, що послідовність {xn} має дві границіaіb, не рівні один одному.

xna;xnb;ab.

Тоді за визначенням існує таке число >0, що

Запишемо вираз:

А тому що –будь-яке число, те, тобто a = b. Теорему доведено.

Теорема.Якщо xn a, то.

Доведення.Зxn aтреба, що. У той же час:

, тобто, тобто. Теорему доведено.

Теорема.Якщо xn a, то послідовність {xn} обмежена.

Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.

Наприклад, послідовність не має границі, хоча

Монотонні послідовності.

Визначення.1) Якщоxn+1>xnдля всіхn, то послідовність зростаюча.

2) Якщо xn+1xnдля всіхn, то послідовність неспадна.

3) Якщо xn+1<xnдля всіхn, те послідовність спадна.

4) Якщо xn+1xnдля всіхn, те послідовність незростаюча

Всі ці послідовності називаються монотонними.Зростаючі й спадні послідовності називаютьсястрого монотонними.

Приклад.{xn} = 1/n– спадна й обмежена

{xn} =n– зростаюча й необмежена.

Приклад.Довести, що послідовність {xn}=монотонна зростаюча.

Знайдемо член послідовності {xn+1}=

Знайдемо знак різниці: {xn}–{xn+1}=

, тому що, то знаменник додатний при будь-якомуn.

Таким чином, xn+1>xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.

Приклад.З'ясувати чи є зростаючою або спадною послідовність {xn} =.

Знайдемо . Знайдемо різницю

, тому що, то 1 – 4n<0, тобтохn+1<xn. Послідовність монотонно спадає.

Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.

Теорема.Монотонна обмежена послідовність має границю.

Доведення.Розглянемо монотонну неспадну послідовність

Ця послідовність обмежена зверху: , деМ– деяке число.

Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного > 0 існує таке числоN, щоx>a, деа– деяка верхня грань множини.

Оскільки {xn} – неспадна послідовність, то приN>n,xn>a.

Звідси a<xn<a+

– < xna<абоxna<, тобто.

Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.