Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
Визначення.Якщо кожному натуральному числуnпоставлено у відповідність числохn, то говорять, що заданопослідовність
x1,х2, …,хn = {xn}
Загальний елемент послідовності є функцією відn.
xn=f(n)
У такий спосіб послідовність може розглядатися як функція.
Задати послідовність можна різними способами – головне, щоб був зазначений спосіб одержання будь-якого члена послідовності.
Приклад.{xn} = {(–1)n} або {xn} = –1; 1; –1; 1; …
{xn} = {sinn/2} або {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для послідовностей можна визначити наступні операції:
Множення послідовності на число m:m{xn} = {mxn}, тобто mx1, mx2, …
Додавання (вирахування) послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
Добуток послідовностей: {xn}{yn} = {xnyn}.
Частка послідовностей:
при {yn}0.
Обмежені й необмежені послідовності.
Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою, якщо існує таке числоМ>0, що для будь-якогоnвірне нерівність:
тобто всі члени послідовності належать проміжку (–М;M).
Визначення.Послідовність {xn} називаєтьсяобмеженою згори, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що
Визначення.Послідовність {xn}називаєтьсяобмеженої знизу, якщо для будь-якогоnіснує таке числоМ, що
Приклад.{xn} =n– обмежена знизу {1, 2, 3, … }...
Визначення.Числоаназиваєтьсяграницеюпослідовності {xn}, якщо для будь-якого позитивного >0 існує такий номерN, що для всіхn>Nвиконується умова:
Це записується:
.
У цьому випадку говорять, що послідовність {xn}збігаєтьсядоаприn.
Властивість:Якщо відкинути яке-небудь або число членів послідовності, то виходять нові послідовності, при цьому якщо сходиться одна з них, то сходиться й інша.
Приклад.Довести, що границя
послідовності
.
Нехай при n>Nвірно
,
тобто
.
Це вірно при
,
таким чином, якщо заNвзяти цілу
частину від
,
то твердження, наведене вище, виконується.
Приклад.Показати, що приnпослідовність 3,
має границею число 2.
Отже: {xn}= 2 + 1/n; 1/n=xn– 2
Очевидно, що
існує таке число n, що
,
тобто
.
Теорема.Послідовність не може мати більше однієї границі.
Доведення.Припустимо, що послідовність {xn} має дві границіaіb, не рівні один одному.
xna;xnb;ab.
Тоді за визначенням існує таке число >0, що
Запишемо
вираз:
А тому що –будь-яке число, те
,
тобто a = b. Теорему доведено.
Теорема.Якщо xn
a, то
.
Доведення.Зxn
aтреба, що
.
У той же час:
,
тобто
, тобто
.
Теорему доведено.
Теорема.Якщо xn a, то послідовність {xn} обмежена.
Слід зазначити, що обернене твердження невірне, тобто з обмеженості послідовності не слідує її збіжність.
Наприклад, послідовність
не має границі, хоча
Монотонні послідовності.
Визначення.1) Якщоxn+1>xnдля всіхn, то послідовність зростаюча.
2) Якщо xn+1xnдля всіхn, то послідовність неспадна.
3) Якщо xn+1<xnдля всіхn, те послідовність спадна.
4) Якщо xn+1xnдля всіхn, те послідовність незростаюча
Всі ці послідовності називаються монотонними.Зростаючі й спадні послідовності називаютьсястрого монотонними.
Приклад.{xn} = 1/n– спадна й обмежена
{xn} =n– зростаюча й необмежена.
Приклад.Довести, що послідовність
{xn}=
монотонна зростаюча.
Знайдемо член послідовності {xn+1}=
Знайдемо знак
різниці: {xn}–{xn+1}=
,
тому що
,
то знаменник додатний при будь-якомуn.
Таким чином, xn+1>xn. Послідовність зростаюча, що й слід було довести.
Приклад.З'ясувати чи є зростаючою
або спадною послідовність {xn}
=
.
Знайдемо
.
Знайдемо різницю
,
тому що
,
то 1 – 4n<0, тобтохn+1<xn. Послідовність
монотонно спадає.
Слід зазначити, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони.
Теорема.Монотонна обмежена послідовність має границю.
Доведення.Розглянемо монотонну неспадну послідовність
Ця послідовність
обмежена зверху:
,
деМ– деяке число.
Оскільки будь-яка, обмежене згори, числова множина має чітку верхню грань, то для кожного > 0 існує таке числоN, щоx>a–, деа– деяка верхня грань множини.
Оскільки {xn} – неспадна
послідовність, то приN>n
,xn>a–.
Звідси a–<xn<a+
– < xn–a<абоxn–a<,
тобто
.
Для інших монотонних послідовностей доведення аналогічно. Теорему доведено.