Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике.doc
Скачиваний:
259
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.

Визначення.Множиною М називається об'єднання в єдине ціле певних розрізнюваних об'єктіва, які називаютьсяелементами множини.

а М

Множину можна описати, указавши якусь властивість, властиву всім елементам цієї множини.

Множина, що не містить елементів, називається порожньою і позначається.

Визначення.Якщо всі елементи множиниАє також елементами множиниВ, то кажуть, що множинаАвключається (міститься)у множиніВ.

А

В

Визначення.ЯкщоАВ, то множинаАназиваєтьсяпідмножиною множиниВ, а якщо при цьомуАВ, то множинаАназиваєтьсявласною підмножиноюмножиниВи позначаєтьсяАВ.

Для трьох множин А,В,Ссправедливі наступні співвідношення.

Зв'язок між включенням і рівністю множин встановлюється наступним співвідношенням:

Тут знак позначаєкон’юнкцію (логічне “і”).

Операції над множинами.

Визначення.Об'єднанням множинАиВназивається множинаС, елементи якого належать хоча б одному із множинАиВ.

Позначається .

А

В

Геометричне зображення множин у вигляді області на площині називається діаграмою Ейлера-Вейна.

Визначення.Перетином множинАиВназивається множинаС, елементи якої належать кожній з множинАиВ.

Позначення .

АСВ

Для множин А,ВиСсправедливі наступні властивості:

АА=АА=А;AB=BA;AB=BA;

(AB)C=A(BC); (AB)C=A(BC);

A(BC) = (AB)(AC); A(BC) = (AB)(AC);

A(AB) =A;A(AB) =A;

 =А;A=;

Визначення.Різницею множинАиВназивається множина, що складається з елементів множиниА, що не належать множиніВ.

Позначається С=А\В.

АВ

Визначення.Симетричною різницеюмножинАиВназивається множина С, елементи якого належать у точності одному із множинАабоВ.

Позначається АВ.

АВ= (A\B)(B\A)

AB

Визначення.СЕназиваєтьсядоповненням множини А щодо множиниЕ, якщо А ЕіCЕ=Е\A.

AE

Для множин А,ВиСсправедливі наступні співвідношення:

A\BA;A\A=;A\ (A\B) =AB;

AB=BA;AB= (AB) \ (AB);

A\ (BC) = (A\B)(A\C);A\ (BC) = (A\B)(A\C);

(AB) \C= (A\C)(B\C); (AB) \C= (A\C)(B\C);

A\ (B\C) = (A\B)(AC); (A\B) \C=A\ (BC);

(AB)C=A(BC);A(BC) = (AB)(AC);

ACEA=E;ACEA=;CEE=;CE=E;CECEA=A;

CE(AB) =CEACEB;CE(AB) =CEACEB;

Приклад.Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність і перевірити її за допомогою діаграми Ейлера-Вейна.

Із записаних вище співвідношень видно, що

=A\В

Що й було потрібно довести.

Для ілюстрації отриманого результату побудуємо діаграми Ейлера-Вейна:

АВА В

AB

Приклад.Виходячи з визначення рівності множин і операцій над множинами, довести тотожність.

A\ (BC) = (A\B)(A\C)

Якщо деякий елемент х А \ (ВС), то це означає, що цей елемент належить множиніА, але не належить множинамВиС.

Множина А \Вявляє собою множину елементів множиниА, що не належать множиніВ.

Множина А \Сявляє собою множину елементів множиниА, що не належать множиніС.

Множина (A\B)(A\C) являє собою множина елементів, які належать множиніА, але не належать ні множиніВ, ні множиніС.

Таким чином, тотожність можна вважати доведеною.