- •Частина 1
- •Комплексні числа.
- •Тригонометрична форма комплексного числа.
- •Дії з комплексними числами.
- •Показникова форма комплексного числа.
- •Розклад багаточлена на множники.
- •Лінійна алгебра. Основні визначення.
- •Основні дії над матрицями.
- •Операція множення матриць.
- •Визначники (детермінанти).
- •Елементарні перетворення матриці.
- •Мінори.
- •Алгебраїчні доповнення.
- •Обернена матриця.
- •Властивості обернених матриць.
- •Базовий мінор матриці. Ранг матриці.
- •Теорема про базовий мінор.
- •Матричний метод розв’язання систем лінійних рівнянь.
- •Метод Крамера.
- •Розв’язання довільних систем лінійних рівнянь.
- •Елементарні перетворення систем.
- •Теорема Кронекера-Капеллі.
- •Метод Гауса.
- •Елементи векторної алгебри.
- •Властивості векторів.
- •Лінійна залежність векторів.
- •Система координат.
- •Декартова система координат.
- •Лінійні операції над векторами в координатах.
- •Скалярний добуток векторів.
- •Векторний добуток векторів.
- •Властивості векторного добутку векторів:
- •Мішаний добуток векторів.
- •Властивості мішаного добутку:
- •Рівняння поверхні в просторі.
- •Загальне рівняння площини.
- •Рівняння площини, що проходить через три точки.
- •Аналітична геометрія на площині. Рівняння лінії на площині.
- •Рівняння прямої на площині.
- •Рівняння прямої по точці й вектору нормалі.
- •Рівняння прямої, що проходить через дві точки.
- •Рівняння прямої по точці й кутовому коефіцієнту.
- •Рівняння прямої по точці й напрямному вектору.
- •Рівняння прямої у відрізках.
- •Нормальне рівняння прямої.
- •Кут між прямими на площині.
- •Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно до даної прямої.
- •Відстань від точки до прямої.
- •Криві другого порядку.
- •Гіпербола.
- •Парабола.
- •Системи координат.
- •Полярна система координат.
- •Аналітична геометрія в просторі. Рівняння лінії в просторі.
- •Рівняння прямої в просторі за точкою та напрямним вектором.
- •Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві точки.
- •Загальні рівняння прямої в просторі.
- •Кут між площинами.
- •Умови паралельності й перпендикулярності
- •Зв'язок між циліндричною та декартовою прямокутною
- •Властивості лінійних просторів.
- •Лінійні перетворення.
- •Матриці лінійних перетворень.
- •Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- •Квадратичні форми.
- •Приведення квадратичних форм до канонічного вигляду.
- •Вступ до математичного аналізу. Числова послідовність.
- •Обмежені й необмежені послідовності.
- •Монотонні послідовності.
- •Число е.
- •Зв'язок натурального й десяткового логарифмів.
- •Границя функції в точці.
- •Границя функції при прямуванні аргументу до нескінченності.
- •Основні теореми про границі.
- •Нескінченно малі функції.
- •Властивості нескінченно малих функцій:
- •Нескінченно великі функції та їх зв'язок з нескінченно малими.
- •Порівняння нескінченно малих функцій.
- •Властивості еквівалентних нескінченно малих.
- •Деякі визначні границі.
- •Неперервність функції в точці.
- •Властивості неперервних функцій.
- •Неперервність деяких елементарних функцій.
- •Точки розриву і їхня класифікація.
- •Неперервність функції на інтервалі й на відрізку.
- •Властивості функцій, неперервних на відрізку.
- •Елементи вищої алгебри. Основні поняття теорії множин.
- •Операції над множинами.
- •Відносини й функції.
- •Властивості бінарних відносин.
- •Алгебраїчні структури.
- •Дискретна математика. Елементи комбінаторики.
- •Біном Ньютона. (поліноміальна формула)
- •Елементи математичної логіки.
- •Основні еквівалентності.
- •Булеві функції.
- •Числення предикатів.
- •Скінченні графи й сітки. Основні визначення.
- •Матриці графів.
- •Досяжність і зв’язність.
- •Ейлерові й гамільтонові графи.
- •Дерева й цикли.
- •Елементи топології.
- •Метричний простір.
- •Відкриті й замкнуті множини.
- •Неперервні відображення.
- •Топологічні добутки.
- •Компактність.
Рівняння поверхні в просторі.
Визначення.Будь-яке рівняння, що пов'язує координатиx,y,zбудь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні.
Загальне рівняння площини.
Визначення.Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:
Ax+By+Cz+D= 0,
де А,В,С– координати вектора– векторнормалідо площини.
Можливі наступні окремі випадки:
А= 0 – площина паралельна осіОх
В= 0 – площину паралельна осіОу
С= 0 – площину паралельна осіОz
D= 0 – площина проходить через початок координат
А=В= 0 – площину паралельна площиніхОу
А=С= 0 – площину паралельна площиніхОz
В=С= 0 – площину паралельна площиниyOz
А=D= 0 – площина проходить через вісьОх
В=D= 0 – площина проходить через вісьОу
С=D= 0 – площина проходить через вісьOz
А=В=D= 0 – площина збігається із площиноюхОу
А=С=D= 0 – площина збігається із площиноюxOz
В=С=D= 0 – площина збігається із площиноюyOz
Рівняння площини, що проходить через три точки.
Для того, щоб через три які-небудь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.
Розглянемо точки М1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) у загальній декартовій системі координат.
Для того, щоб довільна точка М(x,y,z) лежала в одній площині із точкамиМ1,М2,М3необхідно, щоб векторибули компланарні.
() = 0
Таким чином,
Рівняння площини, що проходить через три точки:
Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарному площині.
Нехай задані точки М1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2) і вектор.
Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1і М2і довільну точкуМ(х,у,z) паралельно вектору.
Вектори й векторповинні бути компланарні, тобто
() = 0
Рівняння площини:
Рівняння площини за однією точкою і двома векторами,
колінеарними площині.
Нехай задані два вектори й, колінеарні площини. Тоді для довільної точкиМ(х,у,z), що належить площини, векториповинні бути компланарні.
Рівняння площини:
Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.
Теорема. Якщо в просторі задана точка М0(х0, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Доведення.Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Оскільки вектор – вектор нормалі, то він перпендикулярний площини, а, отже, перпендикулярний і вектору. Тоді скалярний добуток
= 0
Таким чином, одержуємо рівняння площини
Теорему доведено.
Рівняння площини у відрізках.
Якщо в загальному рівнянні Ах+Ву+Сz+ D = 0 поділити обидві частини на –D
,
замінивши , одержимо рівняння площини у відрізках:
Числа a,b,cє точками перетину площини відповідно з осямих,у,z.
Рівняння площини у векторній формі.
де
– радіус-вектор поточної точки М(х,у,z),
– одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.
, и– кути, утворені цим вектором з осямих,у,z.
p– довжина цього перпендикуляра.
У координатах це рівняння має вигляд:
xcos+ycos+zcos–p= 0.
Відстань від точки до площини.
Відстань від довільної точкиМ0(х0,у0,z0) до площиниАх+Ву+Сz+D=0 дорівнює:
Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точкаР(4; –3; 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.
Таким чином, A= 4/13;B= –3/13;C= 12/13, скористаємося формулою:
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точкиP(2; 0; –1) іQ(1; –1; 3) перпендикулярно площини 3х+ 2у–z+ 5 = 0.
Вектор нормалі до площини 3х+ 2у–z+ 5 = 0паралельний шуканої площини.
Одержуємо:
Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, –1, 4) і
В(3, 2, –1) перпендикулярно площини х+у+ 2z– 3 = 0.
Шукане рівняння площини має вигляд: Ax+By+Cz+D= 0, вектор нормалі до цієї площини(A,B,C). Вектор(1, 3, –5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі(1, 1, 2). Оскільки точкиАтаВналежать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то
Таким чином, вектор нормалі (11, –7, –2). Оскільки точкаА належить шуканій площині, то її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площини, тобто 112 + 71 – 24 + D = 0; D = –21.
Отже, одержуємо рівняння площини: 11x– 7y– 2z– 21 = 0.
Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точкаР(4, –3, 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.
Знаходимо координати вектора нормалі = (4, –3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4x– 3y+ 12z+D= 0. Для знаходження коефіцієнтаDпідставимо в рівняння координати точкиР:
16 + 9 + 144 + D= 0
D= –169
Разом, одержуємо шукане рівняння: 4x– 3y+ 12z– 169 = 0
Приклад.Дано координати вершин пірамідиА1(1; 0; 3),A2(2; –1; 3),A3(2; 1; 1),
A4(1; 2; 5).
Знайти довжину ребра А1А2.
Знайти кут між ребрами А1А2іА1А4.
Знайти кут між ребром А1А4і граннюА1А2А3.
Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3як векторний добуток векторіві.
= (2–1; 1–0; 1–3) = (1; 1; –2);
Знайдемо кут між вектором нормалі й вектором .
–4 – 4 = –8.
Шуканий кут між вектором і площиною буде дорівнює= 900–.
Знайти площу грані А1А2А3.
Знайти об'єм піраміди.
(од3).
Знайти рівняння площини А1А2А3.
Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.
2x+ 2y+ 2z– 8 = 0
x+y+z– 4 = 0;