Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по математике.doc
Скачиваний:
259
Добавлен:
05.02.2016
Размер:
3.68 Mб
Скачать

Рівняння поверхні в просторі.

Визначення.Будь-яке рівняння, що пов'язує координатиx,y,zбудь-якої точки поверхні є рівнянням цієї поверхні.

Загальне рівняння площини.

Визначення.Площиною називається поверхня, всі точки якої задовольняють загальному рівнянню:

Ax+By+Cz+D= 0,

де А,В,С– координати вектора– векторнормалідо площини.

Можливі наступні окремі випадки:

А= 0 – площина паралельна осіОх

В= 0 – площину паралельна осіОу

С= 0 – площину паралельна осіОz

D= 0 – площина проходить через початок координат

А=В= 0 – площину паралельна площиніхОу

А=С= 0 – площину паралельна площиніхОz

В=С= 0 – площину паралельна площиниyOz

А=D= 0 – площина проходить через вісьОх

В=D= 0 – площина проходить через вісьОу

С=D= 0 – площина проходить через вісьOz

А=В=D= 0 – площина збігається із площиноюхОу

А=С=D= 0 – площина збігається із площиноюxOz

В=С=D= 0 – площина збігається із площиноюyOz

Рівняння площини, що проходить через три точки.

Для того, щоб через три які-небудь точки простору можна було провести єдину площину, необхідно, щоб ці точки не лежали на одній прямій.

Розглянемо точки М1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3) у загальній декартовій системі координат.

Для того, щоб довільна точка М(x,y,z) лежала в одній площині із точкамиМ1,М2,М3необхідно, щоб векторибули компланарні.

() = 0

Таким чином,

Рівняння площини, що проходить через три точки:

Рівняння площини по двох точках і вектору, колінеарному площині.

Нехай задані точки М1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2) і вектор.

Складемо рівняння площини, що проходить через дані точки М1і М2і довільну точкуМ(х,у,z) паралельно вектору.

Вектори й векторповинні бути компланарні, тобто

() = 0

Рівняння площини:

Рівняння площини за однією точкою і двома векторами,

колінеарними площині.

Нехай задані два вектори й, колінеарні площини. Тоді для довільної точкиМ(х,у,z), що належить площини, векториповинні бути компланарні.

Рівняння площини:

Рівняння площини за точкою та вектором нормалі.

Теорема. Якщо в просторі задана точка М00, у0, z0), то рівняння площини, що проходить через точку М0 перпендикулярно вектору нормалі (A, B, C) має вигляд:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Доведення.Для довільної точки М(х, у, z), що належить площині, складемо вектор. Оскільки вектор – вектор нормалі, то він перпендикулярний площини, а, отже, перпендикулярний і вектору. Тоді скалярний добуток

= 0

Таким чином, одержуємо рівняння площини

Теорему доведено.

Рівняння площини у відрізках.

Якщо в загальному рівнянні Ах+Ву+Сz+ D = 0 поділити обидві частини на –D

,

замінивши , одержимо рівняння площини у відрізках:

Числа a,b,cє точками перетину площини відповідно з осямих,у,z.

Рівняння площини у векторній формі.

де

– радіус-вектор поточної точки М(х,у,z),

– одиничний вектор, що має напрямок, перпендикуляра, опущеного на площину з початку координат.

, и– кути, утворені цим вектором з осямих,у,z.

p– довжина цього перпендикуляра.

У координатах це рівняння має вигляд:

xcos+ycos+zcosp= 0.

Відстань від точки до площини.

Відстань від довільної точкиМ0(х0,у0,z0) до площиниАх+Ву+Сz+D=0 дорівнює:

Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точкаР(4; –3; 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Таким чином, A= 4/13;B= –3/13;C= 12/13, скористаємося формулою:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.

Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через дві точкиP(2; 0; –1) іQ(1; –1; 3) перпендикулярно площини 3х+ 2уz+ 5 = 0.

Вектор нормалі до площини 3х+ 2уz+ 5 = 0паралельний шуканої площини.

Одержуємо:

Приклад.Знайти рівняння площини, що проходить через точки А(2, –1, 4) і

В(3, 2, –1) перпендикулярно площини х+у+ 2z– 3 = 0.

Шукане рівняння площини має вигляд: Ax+By+Cz+D= 0, вектор нормалі до цієї площини(A,B,C). Вектор(1, 3, –5) належить площині. Задана нам площина, перпендикулярна шуканої має вектор нормалі(1, 1, 2). Оскільки точкиАтаВналежать обом площинам, а площини взаємно перпендикулярні, то

Таким чином, вектор нормалі (11, –7, –2). Оскільки точкаА належить шуканій площині, то її координати повинні задовольняти рівнянню цієї площини, тобто 112 + 71 – 24 + D = 0; D = –21.

Отже, одержуємо рівняння площини: 11x– 7y– 2z– 21 = 0.

Приклад.Знайти рівняння площини, знаючи, що точкаР(4, –3, 12) – підстава перпендикуляра, опущеного з початку координат на цю площину.

Знаходимо координати вектора нормалі = (4, –3, 12). Шукане рівняння площини має вигляд: 4x– 3y+ 12z+D= 0. Для знаходження коефіцієнтаDпідставимо в рівняння координати точкиР:

16 + 9 + 144 + D= 0

D= –169

Разом, одержуємо шукане рівняння: 4x– 3y+ 12z– 169 = 0

Приклад.Дано координати вершин пірамідиА1(1; 0; 3),A2(2; –1; 3),A3(2; 1; 1),

A4(1; 2; 5).

  1. Знайти довжину ребра А1А2.

  1. Знайти кут між ребрами А1А2іА1А4.

  1. Знайти кут між ребром А1А4і граннюА1А2А3.

Спочатку знайдемо вектор нормалі до грані А1А2А3як векторний добуток векторіві.

= (2–1; 1–0; 1–3) = (1; 1; –2);

Знайдемо кут між вектором нормалі й вектором .

–4 – 4 = –8.

Шуканий кут між вектором і площиною буде дорівнює= 900–.

  1. Знайти площу грані А1А2А3.

  1. Знайти об'єм піраміди.

(од3).

  1. Знайти рівняння площини А1А2А3.

Скористаємося формулою рівняння площини, що проходить через три точки.

2x+ 2y+ 2z– 8 = 0

x+y+z– 4 = 0;