Основні еквівалентності.

Для будь-яких формулА,ВиСсправедливі наступні еквівалентності:

A&BB&A;A&AA;A& (B&C)(A&B) &C;

ABBA;AAA;A(BC)(AB)C;

A(B&C)(AB) & (AC);A& (BC)(A&B)(A&C);

A& (AB)A;A(A&B)A;AA;(A&B)AB;

A(A&B)(A&B);A(AB) & (AB);

Булеві функції.

Визначення.Булевою функцією f(X₁,X₂, …,X_n) називається довільнаn-місна функція, аргументи й значення якої належать множині {0, 1}.

Загалом кажучи між логічними висловлюваннями, логічними зв'язуваннями й булевими функціями проглядається явна аналогія. Якщо логічні функції можуть приймати значення істинне або неправдиве, то для булевой функції аналогами цих значень будуть значення 0 або 1.

Для булевих функцій також можна скласти таблиці значень, що відповідають основним логічним операціям.

X1	X2	X1	X1&X2	X1X2	X1X2	X1X2
1	1	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	0	1	1

Числення предикатів.

Визначення. Предикатом P(x₁, x₂, …, x_n) називається функція, змінні якої приймають значення з деякої множиниМ, а сама функція приймає два значення: І (істина) і Н (неправда), тобто

Предикат від паргументів називаєтьсяп-місним предикатом. Висловлювання вважаються нуль-місними предикатами.

Над предикатами можна робити звичайні логічні операції, у результаті яких виходять нові предикати.

Крім звичайних логічних операцій до предикатів застосовуються також спеціальні операції, названікванторами.

Квантори бувають двох видів:

1) Квантор спільності.Позначається (х) Р(х). Квантором спільності називається висловлювання істинне, колиР(х) істинне для кожного елементахіз множиниМ, і помилкове – у противному випадку.

2) Квантор існування.Позначається (х) Р(х). Квантором існування називається висловлювання, істинне, коли існує елемент із множиниМ, для якогоР(х)істинне, і помилкове в противному випадку.

Операцію зв'язування квантором можна застосовувати й до предикатів від більшого числа змінних.

Для формул логіки предикатів зберігається справедливість всіх правил рівносильних перетворень логіки висловлень. Крім того, справедливі наступні властивості:

1. Перенос квантора через заперечення.

(x)A(x)(x)A(x);(x)A(x)(x)A(x);

2. Винесення квантора за дужки.

(х)(А(х) &B)(x)A(x) & B; (x)(A(x) &B)(x)A(x) &B;

(х)(А(х)B)(x)A(x)B; (x)(A(x)B)(x)A(x)B;

3. Перестановка однойменних кванторів.

(y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y); (y)(x)A(x,y)(x)(y)A(x,y);

4. Перейменування зв'язаних змінних. Якщо замінити зв'язану змінну формули А іншою змінною, що не входить у цю формулу, у кванторі й усюди в області дії квантора одержуємо формулу, рівносильнуА.

Числення предикатів базується на наведених вище властивостях і правилах, називаних аксіомами.

Якими б не були формули А и В для них справедливі наступні аксіоми:

1) A(BA);

2) (A(BC))((AB)(AC));

3) (BA)((BA)B);

4) (x_i)A(x_i)A(x_j), де формулаА(х_i) не містить змінноїx_i.

5) A(x_i)(x_j)A(x_j), де формулаА(х_i) не містить змінноїx_i.